Differenzialquotient Steigung der Sekantenfunktion ermitteln

Question

Zeichne in die Abbildung jeweils die Sekantenfunktion von \( f \) in den Intervallen \( [-2 ; 1],[1 ; 3] \) und \( [3 ; 5] \) ein.

Ermittle in jedem Intervall die Steigung der Sekantenfunktion und gib jeweils eine Termdarstellung der Sekantenfunktion an.

Würde mich sehr über den Rechenweg freuen.

Answer 1

Nun, in dem Intervall [ a , b ] lauten die relevanten Funktionswerte f ( a ) bzw. f ( b ) . Die Steigung m bestimmt man daraus mit der hoffentlich bekannten Formel:

m = ( f ( a ) - f ( b ) ) / ( a - b )

Beispiel:

Im Intervall [ - 2 , 1 ] lauten die relevanten Funktionswerte (ablesen aus der Skizze):  f ( - 2 ) = 1, f ( 1 ) = 4

Die Sekantensteigung ist also:

m = ( 1 - 4 ) / ( - 2 - 1 ) = - 3 / - 3 = 1

Ebenso macht man es nun mit den beiden anderen Intervallen.

 

Für die Termdarstellung in der Form der allgemeinen Geradengleichung

y = m x + b

benötigt man neben der Steigung m noch den y-Achsenabschnitt b der jeweiligen Sekante. Diesen berechnet man, indem man die allgemeine  Geradengleichung nach b auflöst:

b = y - m x

und hier nun die abzulesenden Koordinaten eines Punktes der Sekanten sowie die oben berechnete Steigung einsetzt. Für die Sekante im obigen Beispiel etwa gilt unter Verwendung des Punktes ( 1 | 4 ) der Sekanten:

b = y - m x = 4 - 1 * 1 = 3

Somit lautet die Termdarstellung der Sekantengleichung:

y = 1 * x + 3

oder kurz:

y = x + 3

 

Ebenso bestimmt man die Darstellungen der anderen Sekanten.

Answer 2

 

eingezeichnet hast Du die Sekanten ja schon richtig. 

 

Eine Gerade hat die allgemeine Darstellung

y = mx + b

wobei m die Steigung bezeichnet und b den y-Achsenabschnitt. 

Eine Sekante müsste sich dann genauso darstellen lassen wie eine Tangente: 

s = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

 

Die Steigung m bzw. f'(x₀) erhält man durch den Differenzenquotient (y-Differenz/x-Differenz), also für Deine erste Sekante (4-1)/(1-(-2)) = 1

Als x₀ nehmen wir einfach die rechte Grenze des Intervalls, also für die erste Sekante 1.

s₁ = 1 * (x - 1) + 4 = x + 3

 

Zweite Sekante:

Steigung in (3|2) ist (2-4)/(3-1) = -1

x₀ = 3

s₂ = -1 * (x - 3) + 2 = -x + 5

 

Dritte Sekante: 

Steigung in (5|5) ist (5-2)/(5-3) = 3/2

x₀ = 5

s₃ = 3/2 * (x - 5) + 5 = 3/2 * x - 2,5

 

Besten Gruß