Zeige, dass 1-q* = (1-q)d / (1+r)

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist:

1-q* = (1-q)d / (1+r)

Problem/Ansatz:

Gegeben sind:

q = ((1+ r - d) / ( u - d ))

q* = ( qu / (1+r))

u = e^(σ√(Δn))

d = e^(-σ√(Δn))

r = e^(rΔn)-1

An allen buchstaben q,q*,u,d,r ist ein Index n noch dran, habs jz aber nicht mitgeschrieben.

So ich habe alle versucht von rechts zu beweisen.. ging nicht. Ebenso habe ich es von links versucht.. ging auch nicht. Es wurde so kompliziert, dass ich den Überblick verloren habe..

Über jeden Ansatz und Hilfe würde ich mich freuen.

Lg

Answer 1

zunächst mal sauber aufschreiben. ich hoffe, ich habe das richtig kopiert:$$\begin{aligned} 1-q^* &= \frac{(1-q)d}{1+r} && (1)\\ q &= \frac{1+ r - d}{u - d} && (2)\\ q* &= \frac{ qu }{ 1+r}  &&(3)\\ u &= e^{\sigma \sqrt{\Delta n}} &&(4)\\ d &= e^{-\sigma \sqrt{\Delta n}} && (5)\\ r &= e^{r\Delta n}-1 &&(6)\\ \end{aligned} \\$$aus (4) und (5) folgt: \(u=1/d\). Das setze ich überall für \(u\) ein. Und das \(q^*\) aus (3) setze ich in (1) ein - die (6) lass ich so stehen, dann bleibt:$$\begin{aligned} 1-\frac{ q }{ d(1+r)} &= \frac{(1-q)d}{1+r} && (7) \quad \text{aus} \space (1)\\ q &= \frac{d(1+ r) - d^2}{1  - d^2} && (8)\quad \text{aus}\space (2)\\ \end{aligned} \\$$Die Gleichung (7) mit \(d(1+r)\) multiplizieren und das \(q\) zunächst isolieren und dann aus (8) einsetzen:$$\begin{aligned} d(1+r)-q &= (1-q)d^2 && (9)\\ \implies d(1+r)-1+(1-q) &= (1-q)d^2 && (9a)\\ \implies d(1+r)-1 &= (1-q)(d^2-1) && (9b)\\ d(1+r)-1 &= \left(1+\frac{d(1+ r) - d^2}{d^2-1}\right)(d^2-1) && (10)\\ \implies d(1+r)-1 &= d^2-1+d(1+ r) - d^2 && (10a)\\\implies 0 &= 0\end{aligned}$$... ist also richtig. Die Gleichungen (1) bis (5) (nicht 6) bedingen einander. (1) direkt aus (2) bis (5) zu entwickeln ist etwas schwieriger ...

Melde Dich bitte, wenn Du noch Fragen hast.

Gruß Werner

Comments

Ich verstehe den Schritt von (7) nach (8) nicht

---

Aa okay habs jetzt verstanden. Du hast das q einfach mit d multipliziert..

---

ich verstehe den Schritt von (7) nach (8) nicht

das ist kein Schritt. (7) ist aus (1) entstanden, in die ich das \(q^*\) aus (3) eingesetzt habe. Und (8) resultiert aus (2) durch Einsetzen von \(u=1/d\) und Erweitern (nicht multiplizieren) des Bruches mit \(d\).

---

Okay, habs jetzt verstanden.

Ich habe die ganze Zeit versucht von der rechten Seite auf die linke und umgekehrt zu kommen, was mich dann nur verwirrt hat.

Vielen Dank

Answer 2

1-q* = (1-q)d / (1+r)

Problem/Ansatz:

Gegeben sind:

q = ((1+ r - d) / ( u - d ))

q* = ( qu / (1+r))

Vielleicht links und rechts je etwas vereinfachen, bis man sieht, dass links und rechts das Gleiche steht?

Links q* einsetzen 

1 - q* = 1 - ( qu / (1+r))

             | und dann mit Bruchsubtraktion alles auf einen Bruchstrich bringen.

= (1+r)/(1+r) - qu/(1+r)

= ( 1 + r - qu) / (1+r)

Nun müsste 1+r - qu dasselbe sein wie (1 - q)d .

Schau mal, ob du das hinbekommst.

Stimmt die Behauptung denn?