Für welche a in R existiert das uneigentliche Integral?

Question

$$\begin{array}{c}{\text { Für welche } a \in \mathbb{R} \text { existiert das uneigentliche Integral }} \\ {\int_{0}^{\infty} e^{a x} \sin x d x ?}\end{array}$$

Answer 1

für a in (-oo,0)

Comments

Danke für die Antwort :)

Woran haben Sie das erkannt?

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Das Integral existiert, wenn die dazugehörige Reihe

Summe (n=0 bis unendlich)

e^(a*n)sin(n) konvergiert. Letztere kann man leicht mit dem Quotientenkriterium  auf Konvergenz untersuchen, das führt dann zu e^(a)<1, also a<0.

Einfacher ist vielleicht der Ansatz, dass e^(a*x) *sin(x) wenigstens eine Nullfolge sein muss. Das führt zum selben Ergebnis , ist aber nicht völlig ausreichend, da nicht jede Nullfolge als Integral konvergiert.

Am Rechen intensivsten ist es, eine Stammfunktion per partieller Integration zu ermitteln, und dann den entsprechenden Grenzwert zu betrachten.

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Ich versuche Letzteres.

Danke :)