Lösungsmenge einer Gleichung mit Betragsstrichen bestimmen: |8x − 5| ≤ 3x + 10

Question

Aufgabe:

Lösungsmenge der Gleichung |8x − 5| ≤ 3x + 10

Problem/Ansatz:

|8x − 5| ≤ 3x + 10 I()^2

(8x − 5)^(2) ≤ 9x^(2) + 100

64x^(2) -80x + 25 ≤ 9x^(2) + 100 I -25

64x^(2) -80x ≤ 9x^(2) + 75 I - 9x^(2)

55x^(2) -80x ≤  75     => hier ist habe ich 2 Variaten 1. x ausklammern

x(55x -80)  ≤  75    I +80 

55x ≤ 155  I :55

x ≤ 31/11

=> 2. Variante -80x auf die rechte Seite bringen

55x^(2) -80x ≤  75  I + 80x 

55x^(2) >  80x + 75 

Ich weiß nicht ob das so stimmt und irgendwie kommen mir beide Varianten falsch vor. Bin froh über jede Hilfe. LG

Comments

irgendwie kommen mir beide Varianten falsch vor

Das spricht für deine ausgezeichnete Intuition.

Answer 1

Fallunterscheidung durchführen:

I: 8x − 5 ≤ 3x + 10 ⇔ 5x ≤ 15 ⇔ x ≤ 3

II: -(8x - 5) ≤ 3x + 10 ⇔ -11x ≤ 5 ⇔ x ≥ -5/11

Das Intervall lautet demnach \(\left[-\frac{5}{11}; 3\right]\)

Comments

Danke sehr :D

Answer 2

Hinweis : man kann Ergebnisse verifizieren indem
man die Probe macht, d.h. die Ergebnisse in die
Ausgangsgleichung einsetzt und nachschauen ob diese
wahr oder falsch wird.

 | 8x − 5 | ≤ 3x + 10
es empfiehlt die Fallunterscheidung
8x - 5 ≥ 0
8x ≥ 5
x ≥ 5/8
dafür gilt
| 8x − 5 | ≤ 3x + 10
Betragsstriche entfallen
8x − 5  ≤ 3x + 10
5x ≤ 15
x ≤ 3
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ 5/8 ) und ( x ≤ 3 )
5/8 ≤ x ≤ 3


2.Fall
8x - 5 < 0
8x < 5
x < 5/8
dafür gilt
| 8x − 5 | ≤ 3x + 10
Betragsstriche werden aufgelöst
(8x − 5)*(-1)  ≤ 3x + 10
-8x + 5 ≤ 3x + 10
-11x ≤ 5 | * -1
11x ≥ -5
x ≥ -5/11
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 5/8 ) und ( x ≥ -5/11 )
-5/11 ≤ x < 5/8

Beide Wertebereiche
5/8 ≤ x ≤ 3  und -5/11 ≤ x < 5/8
-5/11 ≤ x < 3

Answer 3

Damit du dir vorstellen kannst, wo man eine Fallunterscheidung braucht:

|8x − 5| ≤ 3x + 10

Sieht graphisch so aus

~plot~ abs(8x - 5);3x + 10;[[-5|5|-1|30]];x=3;x=-0.45 ~plot~

Du interessierst dich für die Bereiche auf der x-Achse, in denen die Gerade nicht unterhalb des geknickten Graphen verläuft.

Achtung: Die beiden Schnittstellen in der Skizze sind geschätzt. Die muss man berechnen.

|8x − 5| ≤ 3x + 10 I()^2

(8x − 5)^(2) ≤ 9x^(2) + 2 * (3x)*10 + 100

Hier bereits binomische Formel verwenden!