Euklidischer Vektorraum (V, < , > ), (1) Zeigen Sie : Norm (v) = Norm(W) ⇔ <v+w, v-w> = 0

Question

Aufgabe:Sei (V, < , > ) ein euklidischer Vektorraum,

(1) Zeigen Sie : Norm (v) = Norm(W) ⇔ <v+w, v-w> = 0

(2) Zeigen Sie : (Norm (v+w))² = (Norm(v))² +(Norm(W))² ⇔ <v,w> = 0

Problem/Ansatz: Wie beweist man diese zwei Aufgaben?

Answer 1

einfach die kompliziertere Seite ausrechnen:

<v+w, v-w> = 0

Linearität ausnutzen:

<v,v-w>+<w,v-w>=0

<v,v>-<v,w>+<w,v>-<w,w>=0

Da das Skalarprodukt symmetrisch im reellen Fall ist, heben sich die mittleren auf.

<v,v>-<w,w>=0

Definition von Norm anwenden:

Norm(v)^2-Norm(w)^2=0

Norm(v)^2=Norm(w)^2

Wurzel ziehen, ist eindeutig , da die Normen positive Werte sind

Norm(v)=Norm(w)

Aufgabe 2 geht ähnlich

Comments

Wendet man bei der (2) auch die Linearität an? Also wie funktioniert die zweite Teilaufgabe?

Und die Erste gilt dann nicht für einen unitären Vektorraum, oder? Gilt die Zweite für einen unitären Vektorraum?

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Die Rechnung zur ersten Aufgabe gilt nur für euklidische Vektorräume, in unitären kürzen sich die mittleren Terme im allgemeinen Falle nicht weg, da man bei vertauschen der Argumente komplex konjugiert.

Bei der zweiten fängst du an mit

(Norm(v+w))^2=<v+w,v+w>=<v,v>+2<v,w>+<w,w>

und das soll gleich <v,v>+<w,w> sein, also ist <v,w>=0 . Auch diese Rechnung gilt nur im euklidischen Fall.

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Vielen Dank für deine Hilfe!