Das Innere, der Abschluss und der Rand der Menge {0<x≤1, 2≤y<3} mathematisch beweisen

Question

Aufgabe:

Sei (R², d) ein metrischer Raum mit d(x, y) = ||x−y||₁ = |x₁−y₁|+|x₂−y₂|, wobei x = (x₁, x₂) ∈ R², y = (y₁,y₂) ∈ R².
Bestimmen Sie das Innere, den Abschluss und den Rand der Menge:

Ω={x=(x₁,x₂)∈R² | 0<x₁≤1, 2≤x₂<3}.

Problem/Ansatz:

Ich kann die Menge zeichnen und weiß, wie das Innere usw. aussehen. Ich weiß aber nicht, wie ich das mathematisch (mit einem ε-Ball) begründen soll bzw. wie ich diesen Ball finden kann.

Answer 1

Nehmen wir mal das Innere, das wäre ja dann :

Ω°={x=(x1,x2)∈R2 | 0<x1<1, 2<x2<3}.

Dann musst du ja beweisen:

1. Um jedem Punkt P von Ω° gibt es einen

ε-Ball um P, der ganz in Ω enthalten ist.

2. Zu jedem anderen Punkt Q ( Denn Ω° ⊆ Ω ist ja sicher klar.)

gibt es in jedem ε-Ball um Q einen Punkt der nicht in Ω enthalten ist.

Zu 1 : Vorüberlegung: Die ε-Bälle um Y(y1,y2) sind ja die Punkte X(x1,x2)

für die gilt  d(Y,X) < ε

<=>   |x1−y1|+|x2−y2|  < ε

Wenn also die Differenzen der x-Werte und die der y-Werte

beide betragsmäßig kleiner als ε/2 sind, ist das ja sicher erfüllt.

Also zu 1 so:  Sei P(x1,x2)  ε Ω° .  Dann gilt  nach Def. von Ω°

0<x1<1, 2<x2<3  (P liegt also im Inneren des Rechtecks mit den

Ecken (0,2) (1,2) (1,3) (0,3) . Nun muss man schauen, an welcher Stelle

das P dem Rand nahe kommt. Dazu betrachten wir alle senkrechten und

waagerechten Abstände zu den 4 Rändern.)

Betrachte die 4 positiven Zahlen

 a=3-x2 und b=x2-2 und c=x1 und d= 1 - x1  und sei

e deren Minimum.

(Das ist dann der kleinste Abstand zum Rand. )

Dann ist B_e/2(P) ein  ε-Ball um P, der vollständig in Ω enthalten ist.

zu 2.:

Jeder Punkt Q (x1,x2) von  Ω,  der nicht in  Ω°  enthalten ist,

kann ja nur  x1=1 oder x2=2 haben.

Ein ε-Ball um Q enthält dann ja im 1. Fall etwa ( 1+ ε/2 , x2)

oder im 2. Fall ( x1, x2- ε/2)  also jedenfalls einen Punkt, der

nicht in  Ω liegt.