Lineare Abbildung mit darstellender Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}(3,3;\mathbb{C})$$

Ich habe eine darstellende Matrix (einer linearen Abbildung (Matrix A)) $$ A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}(3,3;\mathbb{C})$$ und eine Basis $$ \mathcal{B}=\left( \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1-i\\1\\i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1+i\\1\\-i \end{pmatrix}\right) $$

Ich habe Schwierigkeiten daraus wieder die lineare Abbildung (eine Matrix A) zu ermitteln.

Problem/Ansatz:

Die darstellende Matrix A' lässt sich ja so beschreiben : $$ A'=\phi_B \circ A \circ \phi_B^{-1} $$Dann ist auch $$ A= \phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B$$

Ich habe nun die Basisvektoren unten eingesetzt, um damit wieder an die Spalten von A zu kommen:

$$ (\phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\\(\phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}1-i\\1\\i \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1-i\\-i\\1 \end{pmatrix}\\(\phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}1+i\\1\\-i \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1-i\\1\\i \end{pmatrix}$$

Und man sieht hier, dass diese Spalten nicht komplett mit denen von oben bei A übereinstimmen. Was mache ich falsch?

Nachtrag:

Ich sehe A' als lineare Abbildung und ΦB ist die Koordiantenabbildung.

Answer 1

Ich verstehe das so:

A ist die Matrix mit Bezug auf die Standardbasis .

Wenn du also rechnest

$$ (\phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} \phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0i\\0\\1 \end{pmatrix}\\(\phi_B^{-1} \circ A' \circ \phi_B)(\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0 n\end{pmatrix}$$

Dann ergibt das die Spalten von A.

Um zu vergleichen, ob das nun wirkllich die gleiche lineare Abbildung ist, musst du die

neuen Basisvektoren durch die alten ausdrücken. Also zum Beispiel bei dem

3. Standardbasisvektor

$$ \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}= 1*\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}+(-0,5i)* \begin{pmatrix}1-i\\1\\i \end{pmatrix}+0,5i* \begin{pmatrix}1+i\\1\\-i \end{pmatrix}$$

Und wenn du dann die Matrix A' mal die Koordinaten bzgl. der gegebenen Basis nimmst, gibt das

           1                     1
A'  *      0,5i     =          -0,5
          -0,5i               -0,5

und das sind die Koordinaten bzgl der gegebenen Basis, also musst du zur Kontrolle , ob

wirklich das Bild des 3. Standardbasisvektors entsteht rechnen:

$$   1*\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}+0,5* \begin{pmatrix}1-i\\1\\i \end{pmatrix}+0,5* \begin{pmatrix}1+i\\1\\-i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0 \end{pmatrix}$$

Und das ist ja die 3. Spalte von A, also stimmt das schon mal

und mit der 2. Spalte kannst du das entsprechend prüfen.

Comments

Warum setzt du oben die Standardbasisvektoren ein?

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Ich hab das so verstanden, dass die Matrix A sich auf die Standardbasis beziehen soll.

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Ich habe nochmal drüber nachgedacht. Der Grund sogar simpel. Ich benutze deshalb die Standardbasisvektoren, da ich mit meinem Rechenweg jede Spalte MEINER MATRIX A haben will. Und das, was ich vorher eingesetzt hatte (also meine Basisvektoren), haben mir nur (A*v_1, A*v_2,A*v_3), was etwas vollkommen anderes ist.