Gib eine quadratische Funktion an, die die Funktion \(f(x)= x^3-6x^2+9x+1\) im Hochpunkt berührt und im Tiefpunkt (nur) schneidet.
Bestimmung der Extrema von \(f\)
\(f'(x)= 3x^2-12x+9\)
\( 3x^2-12x+9=0\)
\( x^2-4x+3=0\)
\(x_1 =3\) \(y_1 =1\)
\(x_2 =1\) \(y_2 =5\)
Art der Extrema:
\(f''(x)= 6x-12\)
\(f''(3)= 6>0 \)Minimum
\(f''(1)= 6-12=-6\)Maximum
Berührung an der Stelle \(x=1\) Da ist nun auch die Scheitelstelle der quadratischen Parabel
Nun verschiebe ich den Graph von \(f\) um \(1\) Einheit nach unten:
Der Scheitelpunkt der quadratischen Parabel ist nun bei S \((1|4)\)
An der Stelle \(x=3\) ist nun eine Nullstelle der gesuchten Parabel.
Eine Parabel ist symmetrisch zur Scheitelstelle. Darum liegt die 2. Nullstelle bei \(x=-1\).
Nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel:
\(p(x)=a (x-3)(x+1)\)
S \((1|4)\)
\(p(1)=a (1-3)(1+1)=-4a=4\)
\(a=-1\)
\(p(x)=- (x-3)(x+1)\)
Nun um eine Einheit nach oben ;
\(q(x)=- (x-3)(x+1)+1\)
Ein schnellerer Weg geht über die Scheitelpunktform der Parabel:
\(q(x)=a(x-x_S)^2+y_S\)
S\((1|5)\) ist der Hochpunkt der Funktion \(f\)
\(q(x)=a(x-1)^2+5\)
Nun liegt der Tiefpunkt von \(f\) auf \(q\) T \((3|1)\):
\(q(3)=a(3-1)^2+5=4a+5=1\)
\(4a=-4\)
\(a=-1\)
\(q(x)=-(x-1)^2+5\)
