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Aufgabe: Gib eine quadratische Funktion an, die die Funktion f(x)= x^3-6x^2+9x+1 im Hochpunkt berührt und im Tiefpunkt (nur) schneidet.

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Hallo

 1. bestimme den Hochpunkt (xh,yh) und Tiefpunkt (xt,yt) von f(x)

2. die Parabel y=ax^2+b*x+c

 und du weisst: y(xh)=yh, y'(xh)=0 y(xt)=yt

 also hast du 3 Gleichungen für a,b,c

Gruß lul

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Skizze mit Ansatz einer Parabelgleichung in Scheitelpunktform y = 5 - a(x-1)^2

~plot~ x^3-6x^2+9x+1;5-(x-1)^2;5-2(x-1)^2;5-0,5(x-1)^2 ~plot~

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Gib eine quadratische Funktion an, die die Funktion \(f(x)= x^3-6x^2+9x+1\) im Hochpunkt berührt und im Tiefpunkt (nur) schneidet.

Bestimmung der Extrema von \(f\)

\(f'(x)= 3x^2-12x+9\)

\( 3x^2-12x+9=0\)

\( x^2-4x+3=0\)

\(x_1 =3\)       \(y_1 =1\)

\(x_2 =1\)       \(y_2 =5\)

Art der Extrema:

\(f''(x)= 6x-12\)

\(f''(3)= 6>0 \)Minimum

\(f''(1)= 6-12=-6\)Maximum

Berührung an der Stelle \(x=1\) Da ist nun auch die Scheitelstelle der quadratischen Parabel

Nun verschiebe ich den Graph von \(f\) um \(1\) Einheit nach unten:

Der Scheitelpunkt der quadratischen Parabel ist nun bei S \((1|4)\)

An der Stelle \(x=3\) ist nun eine Nullstelle der gesuchten Parabel.

Eine Parabel ist symmetrisch zur Scheitelstelle. Darum liegt die 2. Nullstelle bei \(x=-1\).

Nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

\(p(x)=a (x-3)(x+1)\)

S \((1|4)\)

\(p(1)=a (1-3)(1+1)=-4a=4\)

\(a=-1\)

\(p(x)=- (x-3)(x+1)\)

Nun um eine Einheit nach oben ;

\(q(x)=- (x-3)(x+1)+1\)

Ein schnellerer Weg geht über die Scheitelpunktform der Parabel:

\(q(x)=a(x-x_S)^2+y_S\)

S\((1|5)\) ist der Hochpunkt der Funktion \(f\)

\(q(x)=a(x-1)^2+5\)

Nun liegt der Tiefpunkt von  \(f\) auf \(q\)         T \((3|1)\):

\(q(3)=a(3-1)^2+5=4a+5=1\)

\(4a=-4\)

\(a=-1\)

\(q(x)=-(x-1)^2+5\)

Unbenannt.JPG

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