Bestimmen von quadratischer Funktion, die die Funktion f(x)= x3-6x2+9x+1 im Hochpunkt berührt und

Question

Aufgabe: Gib eine quadratische Funktion an, die die Funktion f(x)= x³-6x²+9x+1 im Hochpunkt berührt und im Tiefpunkt (nur) schneidet.

Answer 1

Hallo

 1. bestimme den Hochpunkt (xh,yh) und Tiefpunkt (xt,yt) von f(x)

2. die Parabel y=ax²+b*x+c

 und du weisst: y(xh)=yh, y'(xh)=0 y(xt)=yt

 also hast du 3 Gleichungen für a,b,c

Gruß lul

Answer 2

Skizze mit Ansatz einer Parabelgleichung in Scheitelpunktform y = 5 - a(x-1)²

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f₁(x) = x³-6x²+9x+1f₂(x) = 5-(x-1)²f₃(x) = 5-2(x-1)²f₄(x) = 5-0,5(x-1)²

Answer 3

Gib eine quadratische Funktion an, die die Funktion $f(x)= x^3-6x^2+9x+1$ im Hochpunkt berührt und im Tiefpunkt (nur) schneidet.

Bestimmung der Extrema von $f$

$f'(x)= 3x^2-12x+9$

$3x^2-12x+9=0$

$x^2-4x+3=0$

$x_1 =3$       $y_1 =1$

$x_2 =1$       $y_2 =5$

Art der Extrema:

$f''(x)= 6x-12$

$f''(3)= 6>0$Minimum

$f''(1)= 6-12=-6$Maximum

Berührung an der Stelle $x=1$ Da ist nun auch die Scheitelstelle der quadratischen Parabel

Nun verschiebe ich den Graph von $f$ um $1$ Einheit nach unten:

Der Scheitelpunkt der quadratischen Parabel ist nun bei S $(1|4)$

An der Stelle $x=3$ ist nun eine Nullstelle der gesuchten Parabel.

Eine Parabel ist symmetrisch zur Scheitelstelle. Darum liegt die 2. Nullstelle bei $x=-1$.

Nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

$p(x)=a (x-3)(x+1)$

S $(1|4)$

$p(1)=a (1-3)(1+1)=-4a=4$

$a=-1$

$p(x)=- (x-3)(x+1)$

Nun um eine Einheit nach oben ;

$q(x)=- (x-3)(x+1)+1$

Ein schnellerer Weg geht über die Scheitelpunktform der Parabel:

$q(x)=a(x-x_S)^2+y_S$

S$(1|5)$ ist der Hochpunkt der Funktion $f$

$q(x)=a(x-1)^2+5$

Nun liegt der Tiefpunkt von  $f$ auf $q$         T $(3|1)$:

$q(3)=a(3-1)^2+5=4a+5=1$

$4a=-4$

$a=-1$

$q(x)=-(x-1)^2+5$