Integration durch Substitution von ∫ (4 - 2·x)^2 / (x + 1)^2 dx

Question

Keine Ahnung was ich falsch mache , hat bisher immer funktioniert, nur jetzt nicht .

 

∫ [ (4-2x)²  /  (x+1)² ] dx

substitution  mit  u = x + 1     du = dx

 

komme auf keinen grünen Zweig

 

Danke für eure Hilfe

Answer 1

∫ (4 - 2·x)^2/(x + 1)^2 dx
4·∫ (2 - x)^2/(x + 1)^2 dx

u = x + 1
du = dx

4·∫ (2 - (u - 1))^2/(u)^2 du
4·∫ (3 - u)^2/u^2 du
4·∫ (u^2 - 6·u + 9)/u^2 du
4·∫ (u^2/u^2- 6·u/u^2+ 9/u^2) du
4·∫ (1 - 6·u^{-1} + 9·u^{-2}) du
4·(u - 6·ln(u) - 9·u^{-1})
4·((x + 1) - 6·ln(x + 1) - 9·(x + 1)^{-1})

Comments

genialer Schachzug , Respekt !

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Die Idee zu substituieren stammt ja nicht von mir. Ich hätte es vermutlich zuerst auch wie Unknown mit Polynomdivision und Partialbruchzerlegung probiert.
Aber wenn einem die Idee der Substition schon gegeben wird kann man ja leicht erkennen, das es in diesem Fall recht günstig ist.

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habs es übrigens auch mit dreifacher partieller integration hinbekommen

Answer 2

Hi,

Du kannst nicht einfach "irgendeine" Substitution nehmen ;). Hier bringt Dich eine Substitution ohnehin nicht weiter.

Bist Du mit der Partialbruchzerlegung vertraut? Das wird Dich hier weiterbringen:

https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung

Oder ist das keine Aufgabe aus der Schule? Partialbruchzerlegung macht man da glaube ich nicht.


Willst Du es selbst probieren und wir vergleichen (falls das Verfahren bekannt ist)?

Grüße

Comments

ja produktintegration ist kein problem aber wieso schreiben die man soll mit u = x +1 substituieren ist eine ehemalige abituraufgabe von 1996 ?

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Vorsicht. Es ist nicht "partielle Integration" gemeint, sondern "Partialbruchzerlegung".


Hmm, ich sehe die Möglichkeit der Substitution gerade nicht. Zumindest nicht mit annehmbaren Aufwand.

(D.h. nachdem man die Partialbruchzerlegung gemacht hat, braucht man diese Substitution iwann auch.)

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das kann ich leider nicht :(

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Das dachte ich mir. Ist heutzutage (?) nicht mehr üblich zu Lehren.

Mag sein, dass das 1996 noch anders war (ist nicht schwer und durchaus Schulniveau).


Vllt übersehe ich auch was und die Substitution x+1 = u lässt sich auch direkt verwenden?! Wenn ich es allerdings ausrechne...Partialbruchzerlegung erscheint mir da sinnvoller :P.

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Man brauchte hier keine Partialbruchzerlegung machen. Geht natürlich auch aber meist führen ja immer mehrere Wege nach Rom.
Hier vereinfacht man einfach den Zähler, damit man dort keine Summe mehr hat und später den Term einfacher in Summanden aufsplitten kann.

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Ahh, ich hatte mich in der zweiten Zeile nach Deiner Substitution vertan. Danke Dir ;).

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Danke für die hilfe muss mir mal partialbruchzerlegung aneignen ;)

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habs es übrigens auch mit dreifacher partieller integration hinbekommen