Weise nach das sich die Ebenen E1:x1-3x2+x3=7 und E:3x1+x2=11 schneiden

Question

Ich würde nun diese zwei Ebenen multiplizieren dann hätte ich 4x1-2x2+10x3=18 aber wie geht es dann weiter?

Answer 1

E1: x1 - 3x2 + x3 = 7

E2: 3x1 + x2 = 11

Zwei Eben schneiden sich in einer Geraden wenn sie nicht parallel oder identisch sind. Da die Normalenvektoren hier [1, -3, 1] und [3, 1, 0] nicht linear abhängig sind, sind die Ebenen weder identisch noch parallel. Daher schneiden sie sich in einer Geraden.

Answer 2

Vielleicht schlägst du mal das Wort "multiplizieren" nach?

Wie wäre es denn mit dem Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren? (Am besten auch gleich nachschlagen!)

$$\begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} = 0$$Was sagt das aus?

Comments

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Das würde damit aussagen das die Ebenen sich im Winkel von 90 Grad schneiden.

Allerdings ist es unerheblich für die Aufgabenstellung in welchem Winkel sich die Ebenen schneiden. Und mit dem Skalarprodukt kann man so nicht einfach untersuchen ob sich die Ebenen schneiden. Daher bringt es im Zusammenhang mit der Aufgabe überhaupt nichts.

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"Allerdings ist es unerheblich für die Aufgabenstellung in welchem Winkel sich die Ebenen schneiden. Und mit dem Skalarprodukt kann man so nicht einfach untersuchen ob sich die Ebenen schneiden. Daher bringt es im Zusammenhang mit der Aufgabe überhaupt nichts."

Diese Meinung kann ich nicht teilen. Das Skalarprodukt der Normalenvektoren zweier Ebenen findet Verwendung in der Schnittwinkelberechnung dieser Ebenen.

Fakt ist; Wenn besagter Schnittwinkel ungleich 0° ist, kann man mit Sicherheit sagen, dass die Ebenen nicht parallel sind. (Dass man hier nicht einmal in die Tiefen der Schnittwinkelberechnung eintauchen muss, weil sich der Schnittwinkel 90° sofort nachweisen lässt, ist sicher ein glücklicher Umstand. Deswegen ist es trotzdem nicht legitim, das Skalarprodukt als völlig ungeeignet zu verunglimpfen.)

Sicher muss man im Fall eines Schnittwinkels von 0° noch eine weitere Untersuchung anstellen, ab es sich um Identität oder echte Parallelität handelt.

Du bietest dich in deinen Beiträgen immer als Dienstleister für Nachhilfe an. Wenn du solche unüberlegten Schnellschüsse auch in der Nachhilfe verbreitest, tust du deinen Klienten keinen Gefallen. Bitte überdenke vor weiteren öffentlichen Äußerungen die fachliche Richtigkeit.

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Wie gesagt:

Und mit dem Skalarprodukt kann man so nicht einfach untersuchen ob sich die Ebenen schneiden. Daher bringt es im Zusammenhang mit der Aufgabe überhaupt nichts.

Das reine Skalarprodukt nutzt also nichts. Dur wenn das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Vektorlängen ist weiß man das die Normalenvektoren linear abhängig sind. Das ist aber unsinnig über das Skalarprodukt zu machen wenn es auch viel einfacher geht.

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Ich habe nicht gesagt, dass es nicht einfacher geht.
Aber deine Aussage, dass  das Skalarprodukt gar nichts bringt, ist definitiv falsch.
Wenn du Probleme mit der logischen Richtigkeit oder Falschheit von  Aussagen hast, kannst du ein kompetentes Matheforum um Rat bitten. Ich empfehle da mathelounge.de.
Du darfst dort natürlich nicht jeder Antwort trauen, denn antworten darf jeder, der angemeldet ist.

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Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren, die keine Nullvektoren sind, null ist, sind die beiden Vektoren nicht parallel zueinander. Man kennt sogar den Zwischenwinkel.

Fragesteller wollte vielleicht nicht das Skalarprodukt üben. 

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Wie gesagt mit dem reinen Skalarprodukt geht es NICHT. Man braucht also noch mehr als das reine Skalarprodukt

Wenn du weißt das das Skalarprodukt zweier Winkel 10 ist dann weißt du nur das sie offensichtlich nicht Senkrecht zueinander stehen. Du wüsstest auch noch das es zumindest ein spitzer Winkel sein müsste. Welcher Winkel es aber genau ist kannst du dem reinen Skalarprodukt nicht entnehmen. Es sind also noch weitere Rechnungen notwendig.

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Es sind also noch weitere Rechnungen notwendig.

Das hat niemand bestritten.

@lu

Danke, dass du dich eingemischt hast. Wenn Zeugen da sind, ist es nicht mehr so einfach, still und heimlich unliebsame Kommentare zu löschen.

Gute Nacht an alle!

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Allgemein darf man ruhig wissen, dass das Skalarprodukt kein gutes Mittel ist, um zu zeigen, dass zwei Ebenen sich schneiden.

Es kann im Idealfall gut gehen, wenn das Skalarprodukt wie in diesem Fall 0 ist. Wenn das aber nicht passiert, dann hat man damit zunächst nichts gewonnen.

Ein Schüler sollte sich also notieren, dass es sehr einfach ist die Lage von Ebenen zu untersuchen, wenn man zunächst die Normalenvektoren auf lineare Abhängigkeit untersucht.

Sollten diese linear abhängig sein und die Ebenen parallel oder identisch sein, müsste man dieses noch untersuchen.

Das kann z.B. leicht geschehen, wenn man zeigt das die Koordinatenformen der Ebenen linear abhängig sind.

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Mathecoach hat völlig recht. Im Allgemeinen ist das Berechnen des Skalarprodukts der Normalenvektoren bei der Prüfung zweier Ebenen auf Schnittgerade ein Schuss ins Blaue. Hier trifft er zufällig.

Man könnte höchstens damit argumentieren, dass das Ergebnis 0 der Skalarmultiplikation hier besonders leicht zu erkennen ist.

Das ist aber bei der i.A. wesentlich zielgerichteteren Prüfung der NV auf lineare Unabhängigkeit auch der Fall.

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https://www.mathelounge.de/632057/weise-nach-das-sich-ebenen-orthogonal-schneiden-schneiden

annamathe will hier alles Mögliche in unterschiedlichen Fragen nochmals berechnet haben.

Answer 3

Wenn die Normalenvektoren keine Vielfachen voneinander sind, sind die Ebenen mit Sicherheit nicht parallel.