Nullstellen aus Ableitung bestimmen

Question

Aufgabe:

f'(x)=x^3 + 5x -1

Problem/Ansatz:

Hey!

Ich habe hier eine Ableitung, deren Nullstellen ich bestimmen soll. Ich weiß aber nicht, WIE ich auf die Nullstellen komme. Muss ich die Ableitung in die pq Formel umformen oder Stück für Stück auflösen, wenn ja, wie?

Mathe ist überhaupt nicht mein Gebiet, daher bitte ich um idiotensichere Erklärungen.

Answer 1

x^3 + 5x - 1 = 0

Du könntest den Term x^3 + 5x - 1 erstmal auf Extremwerte untersuchen. Da die Erste Ableitung 3·x^2 + 5 allerdings immer positiv ist ist unser Term streng monoton steigend. Es gibt also nur exakt eine Nullstelle.

Man kann jetzt mal eine Wertetabelle machen

[-2, -19;
-1, -7;
0, -1;
1, 5;
2, 17]

Da man bei x = 0 einen negativen und bei x = 1 einen positiven Wert hat, muss irgendwo dazwischen die Nullstelle liegen.

Die kann man jetzt mit einem Näherungsverfahren recht schnell bestimmen. Anbieten tut sich Intervallschachtelung oder das Newtonverfahren. Kennst du eines dieser Verfahren?

Ich bekomme bei Anwendung eines Näherungsverfahrens die Nullstelle x = 0.1984372145 heraus.

Comments

Danke erstmal!

Kenne nur das Näherungsverfahren. Das haben wir in diesem Zusammenhang aber nie benutzt, ebenso wenig eine Wertetabelle. Wo kommen die Werte die du da hast her?

Und meine Aufgabe war ja schon eine Ableitung, da brauche ich doch nicht nochmal eine machen oder? Wegen dem 3•x^2+5 das du da stehen hast.

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Kenne nur das Näherungsverfahren.

Welches? Intervallschachtelung oder das Newtonverfahren?

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Wertetabellen hat man in der 8 Klasse im Zusammenhang mit Funktionen kennengelernt.

f(x) = x^3 + 5x - 1

Damit setzt man für x Werte in die Funktion ein und erhält damit ein Funktionswert f(x)

f(0) = 0^3 + 5*0 - 1 = -1

f(1) = 1^3 + 5*1 - 1 = 5

Diese beiden Werte findest du auch im meiner Minimalistischen Wertetabelle.

Eine Ableitung kannst du machen, wenn dich das Steigungsverhalten interessiert. In diesem Fall sagt mir das z.B. das es eben nur eine reelle Nullstelle geben kann.

Du weißt ja das eine Funktion dritten Grades normalerweise bis zu 3 Nullstellen haben kann.

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ah okay, danke. Ich kenne das Intetvallschachtelungsverfahren, nicht das Newton Verfahren. Wenn ich es nicht mit einer Wertetabelle machen würde, kann ich auf die Nullstellen auch mit der pq Formel kommen?

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... kann ich auf die Nullstellen auch mit der pq Formel kommen?

Nein (nur bei quadratischen Gleichungen), aber mit den Cardano-Formeln. Dazu müsstest du aber mit komplexen Zahlen rechnen können:

\( \text{reduzierte Form: }\text{ }x^3 + px  + q = 0\)

Mit der Diskriminante \(D=\left(\frac { p }{ 3 }\right)^3+\left(\frac { q }{ 2 }\right)^2\)
erhält man genau drei komplexe Lösungen, von denen genau eine oder genau drei reelle Zahlen sind. Im ersten Fall sind die beiden anderen Lösungen konjugiert komplex zueinander:
\(x_1=\sqrt[3]{\frac{ -q }{ 2 }+ \sqrt{D}}+\sqrt[3]{\frac { -q }{ 2 }- \sqrt{D}}\)
\(x_2=\left(-\frac {1}{2}+\frac {i·\sqrt{3}}{2}\right)·\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{D}}+\left(-\frac{1}{2}-\frac{i·\sqrt{3}}{2}\right)·\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}\)
\(x_3= \left(-\frac{1}{2} -\frac{i·\sqrt{3}}{2}\right)·\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\left(-\frac{1}{2}+\frac {i·\sqrt{3}}{2}\right)·\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}\)

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Die pq-Formel kannst du nur bei quadratischen Gleichungen anwenden.

Wenn man eine kubische Gleichung hat, dann kann man die cardanischen Formeln verwenden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Da das allerdings meist etwas mühsam ist bedient man sich in der Regel eines Taschenrechners hierfür.

Answer 2

Mit dem Newtonverfahren
x = 0.1984

Comments

Lösung mit dem Intervallverfahren
0, -1;
1, 5;

x = 0.5 einsetzen ; y = 1.625
y = null liegt zwischen ( 0 + 0.5 ) / 2 = 0.25
y = 0.266

x = 0.25 einsetzen ; y = 0.266
y = null liegt zwischen ( 0 + 0.25 ) / 2 = 0.125
y = -0.373

x = 0.125 einsetzen ; y = -0.373
y = null liegt zwischen ( 0.125 + 0.25 ) / 2 = 0.1875
y = -0.0585

x = 0.1875 einsetzen ; y = 0.056
y = null liegt zwischen ( 0.1875 + 0.25 ) / 2 = 0.2189
y = 0.105

x = 0.2189 einsetzen ; y = 0.105
y = null liegt zwischen ( 0.1875 + 0.2189 ) / 2 =0.2032
y = 0.024

usw bis zur gewünschten Genauigkeit