Vektorgeometrie Quadrat, Ebene Berechnung eines Punktes

Question

Aufgabe:

Von der quadratischen Grundfläche eines Quaders liegt ein Eckpunkt im Koordinatenursprung und je ein weiterer auf der x-, bzw. der y-Achse. Der diametral zum Koordinatenursprung liegende Punkt E liegt zusätzlich in der Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes E, wenn die Körperdiagonale des  Quaders 9 Einheiten misst.

E: (x,y,z) = (-2,4,5) + t1 * (1,-2,3) + t2 * (9,3,-1)

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht, wie ich bei dieser Aufgabe beginnen soll. Was meinen die mit diametral zum Koordinatenursprung?

Comments

Was meinen die mit diametral zum Koordinatenursprung?

Die Strecke zwischen Koordinatenursprung und E ist eine Raumdiagonale des Quaders.

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Danke, aber wie soll man sowas skizzieren. Ich kann es mir nicht vorstellen.

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Das weiß ich auch noch nicht, aber ich arbeite daran ;-)

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Der diametral zum Koordinatenursprung liegende Punkt E liegt zusätzlich in der Ebene.

Von einer Ebene war bisher noch nicht die Rede. Welche Ebene ist gemeint?

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E habe ich ja oben geschrieben.

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E: (x,y,z) = (-2,4,5) + t1 * (1,-2,3) + t2 * (9,3,-1)

Oswald, diese Ebene ist in der Aufgabe angegben.

Atorian, so könnte eine Skizze aussehen:

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Diese Skizze habe ich auch geschafft. Vielen Dank für die Visualisierung.

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Die Koordinaten von E sind (4/4/7) Kann das stimmen?`??

Answer 1

Hallo

1. die Seitenlänge des Quadrates sie a, dann ist nach Pythagoras die Diagonale  des Quadrates d=a*√2 die Raumdiagonale  D dann wieder mit Pythagoras mit Höhe h des Quaders : D^2=d^2+h^2=2a^2+h^2  und D^2=81 also  ist gegeben damit h= √(81-2a^2) ausserdem weisst du dass der Punkt die Koordinaten (a,a,h) hat und in der Ebene liegt, also  setz du den Punkt in die Ebene ein, und bestimmst damit a. (du hast 3 Gleichungen mit den 3 unbekannten t1,t2,a, aus den ersten 2 bestimmst du t1(a) und t2(a), setzt in die dritte ein und bestimmst a.

Gruß lul

Comments

Welches sind jetzt konkret die Gleichungen. Du hast alle Schritte gemacht und ich weiss nicht genau, was jetzt davon relevant ist.

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Hallo

 1. die Ebenengleichung, 2. der Punkt (a,a,√(91-2a^2)) Eingesetz in die Ebenengleichung hast du 3 Gleichungen.

Gruß lul

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Wie muss ich das jetzt am besten machen. Mit so vielen Sachen verliere ich einfach den Überblick. Ich habe jetzt den Punkt in die Ebenengleichung eingesetzt und das ist dann meine erste Gleichung.

Dann habe ich noch die Ebenengleichung mit was muss ich die gleichsetzen?

Wie muss ich die dritte Gleichung definieren?

Ich muss ja alles in ein Gleichungssystem packen, damit der Rechner das lösen kann.

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Und ich weiss nicht wie du das mit drei Gleichungen meinst.

1. die Ebenengleichung,

2. der Punkt (a,a,√(91-2a2)) eingesetzt in die Ebenengleichung

3 ????

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Könntest du mir vielleicht schrittweise erklären, wie ich dieses Gleichungssystem mit dem Rechner lösen muss. Wie muss ich das eingeben. Was muss mit was gleichgesetzt werden. Ich muss es einmal verstehen..

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Ist a 4???? Ich habe es mal gemacht.

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Die Koordinaten von E sind (4/4/7) Kann das stimmen?`??

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Ich würde sagen, das stimmt genau!

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Vielen Dank!

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Ich würde sagen, das stimmt genau!

Sehr pfiffig formuliert !
Genau stimmt nämlich die Aussage, dass  E = (4|4|7) stimmen kann (aber eben nicht muss).

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was hj2166 Dir sagen will ist, dass es insgesamt vier Quader gibt, die die Aufgabenstellung erfüllen:

klick auf das Bild und drehe die Szene mit der Maus, so bekommst Du einen guten räumlichen Eindruck. Deine Lösung ist der gelbe Quader.

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@hj2166 Pfiffig? Das war enthusiastisch, weil ich mir an dem Gleichungssystem die Zähne ausgebissen habe. Ich habe Atorians Ergebnis dann nur noch geprüft.

@Werner-Salomon Vielen Dank für deine Mühe!

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Hallo Silvia,

weil ich mir an dem Gleichungssystem die Zähne ausgebissen habe.

Der Trick besteht hier darin, zunächst die Gerade \(g\) zu berechnen, auf der der Eckpunkt \(E\) liegen kann. Aus der Bedingung, dass die Grundfläche in der XY-Ebene quadratisch sein soll, folgen die Ebenen \(H: \space x=y\) und \(H': \space x+y=0\) in denen \(E\) liegen muss.

Die Schnittgerade von \(E\) mit \(H\) ist$$g: \space \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 11 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}$$Aus der Bedingung, dass die Entfernung vom Ursprung zu \(E\) 9LE sein sollen, folgt dann:$$(\vec{x})^2 = 81 \\ 121 -22t + 3t^2= 81 \\ \implies t_1 = 4, \quad t_2 = \frac{10}3$$Gruß Werner

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Der Trick besteht hier darin, zunächst die Gerade g zu berechnen

Darauf wäre ich wahrscheinlich nie gekommen. Danke, wieder etwas dazugelernt!