Wie bestimme ich in dieser Aufgabe die Gerade?

Question

Guten Tag Zusammen

Wie löst man folgende Aufgabe?

Aufgabe: In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen ist die Funktion

gegeben. Gesucht ist die Gleichung einer Geraden g , die den Graphen von f berührt und zusammen mit den
Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein Dreieck mit einem Inhalt von 6 Flächeneinheiten begrenzt.

Mein Versuch

Ich habe zuerst g und f mal geschnitten.

g: y=ax+b

2/(x-1) = ax+b

Das ergibt folgendes:

0= ax² +bx-ax-b-2

Das heisst die Diskriminate müsste ja 0 ergeben. Da ich jedoch 2 Unbekannte habe, kann ich dies nicht machen. Wie geht es nun weiter?

Vielen Dank im Voraus!

LG
Hawaii

Answer 1

Das ist schon ein wenig mit Rechenaufwand verbunden. Hier der Ansatz und auch Lösung wie man vorgehen könnte.

f(x) = 2/(x - 1)

f'(x) = - 2/(x - 1)^2

Tangente an einer Stelle a

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) = -2·(x - 2·a + 1)/(a - 1)^2

Y-Achsenabschnitt t(0)

t(0) = 2·(2·a - 1)/(a - 1)^2

Nullstelle t(x) = 0 --> x = 2·a - 1

Fläche

1/2 * 2·(2·a - 1)/(a - 1)^2 * (2·a - 1) = 6 --> a = 2 ± √6/2

Ich hätte dann folgende Geraden. Achtung. Lösung ist nicht geprüft und sollte als erstes gemacht werden.

t1(x) = (8·√6 - 20)·x - 4·√6 + 12

t2(x) = -(8·√6 + 20)·x + 4·√6 + 12

Answer 2

Möglicher Ansatz:

Sei \(\left(b\vert f(b)\right)\) der Punkt, an dem sich die Graphen von f und g berühren. Dann ist $$g(x) = f'(b)\cdot\left(x-b\right)+f(b)$$eine Gleichung der Tangente g.

Answer 3

Tangente
f ( x ) = g ( x )  | Koordinaten gleich
f ´ ( x ) = g ( x ) | Steigung gleich

f = 2 / ( x -1 )
f ´( x ) = -2 / ( x-1)^2

g ( x ) = m*x + b
g´( x ) = m

2 / ( x -1 ) = m*x + b
-2 / ( x-1)^2 = m

Außerdem die Dreieckfläche
Schnittpunkt von g mit der x-Achse = Grundlinie Dreieck
m*x + b = 0
x = -b/m
Fläche Dreieck : x * b / 2 = -b^2 / (2m) = 6

2 / ( x -1 ) = m*x + b
-2 / ( x-1)^2 = m
-b^2 / (2m) = 6

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

Hier habe ich mein Matheprogramm bemüht
x = 0.775
und
x = 3.225

f ( 3.225 ) = 0.899
f ´( 3.225 ) = -0.404

g ( x ) = -0.404 * x + 2.2
g´( x ) = -0.404
Schnittpunkt tangente x-Achse =Grundseite Dreieck
g ( x ) = 0
x = 5.445

A = 5.445 * 2.2 / 2 = 6 Bingo

Ohne CAS ist die Lösung wohl zu arbeitsaufwändig.

2.Lösung auch noch überprüfen / berechnen.