Alle Lösungen der goniometrischen Gleichungen angeben. Bsp. 5 * sin (x) = 3

Question

Aufgabe:Gib alle Lösungen der Gleichungen an:

5sin (x) = 3

sin (3x - 2) = 0,6

Problem/Ansatz: Es geht wieder um Sinuskurven, aber ich weiß leider überhaupt nicht, was ich hier eigentlich machen soll.

Comments

Bitte angeben, welche Lösungen du bestimmen sollst. Alle reellen Lösungen oder Lösungen in einem Intervall? Genügt vielleicht eine Lösung?

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Hallo Lu,

das weiß ich leider nicht. Ich habe die Aufgabenstellung genauso übernommen, wie sie auf dem AB stand.

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Aufgabe:Gib alle Lösungen der Gleichungen an:

Hier steht alle Lösungen. In der Überschrift hattest du nur Lösungen. Daher war das unklar. Vermutlich sind dann schon alle reellen Lösungen gemeint (-> Antwort). 

Answer 1

5sin (x) = 3

<=> sin (x) = 3/5 = 0,6

also sind im Bereich von 0 bis 2pi die Lösungen

arc sin ( 0,6 ) ≈  0,6435  und  pi/2 + arc sin ( 0,6 ) ≈ 2,2143

und somit alle Lösungen von der Form

  k*2*pi + arc sin ( 0,6 )  oder    k*2*pi+pi/2 + arc sin ( 0,6 ) mit k∈ℤ.

Bei der 2. entsprechend das gleich 3x-2 setzen.

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Hallo mathef,

vielen Dank für den Lösungsweg.

Vom Arkussinus (habe ich gerade mal gegoogelt) haben wir noch nichts gemacht.

Warum ergibt sich beim Ergebnis von 0,6, dass die Lösungen im Bereich von 0 bis 2pi

liegen?

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Ich weiß leider auch nicht, was ich bei der zweiten Aufgabe machen soll (und auf dem Zettel sind noch drei weitere Aufgaben). Was meinst Du mit "Bei der 2. entsprechend das gleich 3x-2 setzen"?

Was wird denn hier überhaupt gerechnet? Im Mathebuch habe ich diese Aufgaben nicht gefunden.

Answer 2

2.

Nur mal, damit du weisst, was du tust, wenn du alle reellen Lösungen bestimmst:

~plot~ sin (3x - 2); 0,6; x=0.86;x=2 pi;x=1/6 ~plot~

Du suchst alle Schnittstellen von blau und rot. Eine davon ist gemäss Skizze ungefähr bei der grünen Linie x = 0.86 .

Erst mal nach x auflösen und mit dem TR den ersten x-Wert (erste Lösung) bestimmen. Danach muss man Symmetrien und Periodizität der Funktion ausnützen, um die andern Lösungen noch zu bestimmen.

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Du kannst aber bei b). auch auf die Resultate von a) zurückgreifen, denn

a) 5sin (x) = 3  ⇔ sin(x) = 0.6 


b) sin (3x - 2) = 0,6

Substituiere u = 3x-2 , so ergibt sich sin(u) = 0,6. Und hier kennst du schon alle Lösungen u1, u2, ....

Dann rücksubstituieren, um aus den u-Werten die x-Werte zu bestimmen.

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Vielen Dank, Lu, das ist schon sehr hilfreich.

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Stimmt bei der folgenden Aufgabe der Lösungsweg?

3sin(x) -sin(x) = 1,2

2sin(x) = 1,2

sin(x) = 1,2/2

     x   = 0,6

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Ist das wieder eine neue Aufgabe?

3sin(x) -sin(x) = 1,2

2sin(x) = 1,2

sin(x) = 1,2/2

    sin(x)  = 0,6

Nun somit bekommst du die gleiche Lösungsmenge wie bei a) .

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Ja, das war die dritte von fünf ;-)

Und das ist die vierte:

4sin(x-3pi) = 3,5

4(x - 3pi) = 3,5

4x -12pi = 3,5

4x         = - (3,5/12pi):4

Das erscheint mir nach den vorangegangenen Lösungen aber doch zu utopisch!

Wahrscheinlich liegt der Fehler gleich in der zweiten Zeile, oder?

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4sin(x-3pi) = 3,5

4sin(x - 3pi) = 3,5

4sin(x -3pi) = 3,5

sin(x - 3pi)         =  3.5 / 4 = 7/8       | nun mal die erste Lösung mit arcsin:

x_{1} - 3π = arcsin(7/8)

x_{1} = 3π + arcsin(7/8)

Dann noch die Symmetrien etc. benutzen, um alle Lösungen von sin(x-3pi) = 7/8 zu bestimmen.

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Hallo Lu,

danke fürs Fehlerfinden ;-)

Mit dem Arkussinus haben wir noch nicht gearbeitet.

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Beim Taschenrechner musst du bei diesen arcsin-Aufgaben auf Bogenmass umstellen, falls du bis jetzt mit Grad gerechnet hast.

Kontrolliere die Einstellung

sin(π) liefert 0 , falls Bogenmass eingestellt

aber bei Gradeinstellung: sin(180°) = 0

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Gut zu wissen, danke, Lu :-)