Exponentielles Wachstum und Zerfall Medikament

Question

Aufgabe:

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das mit einer Halbwertszeit von 40 Minuten abgebaut wird.

a) Berechnen Sie die Zerfallskonstante

b) Wie viel Prozent des Medikaments zerfallen pro Minute? Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 10 Minuten im Körper noch wirksam?

c) Eine Patientin erhält vor Beginn einer Operation 2mg des Medikaments und danach zweimal in Abständen von einer Stunde je 1 mg. Wie viel des Medikaments sind am Ende der Operation nach 2 Stunden 30 Minuten im Körper noch wirksam?

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich es so gemacht:

B(t) = B(0)*e^(-z*t)

1/2 = e^(-z*40) => z = 0.017

Bei b) habe ich es so gemacht: Da ja bei einer exponentiellen Abnahme das Verhältnis gleich bleibt, ist die Zeit nicht relevant.

1-e^(-z) => 1.718%

Kann das stimmen? Könnte mir bitte jemand seinen Lösungsweg ausführlich erklären, weil diese Idee habe ich aus einem anderen Post von hier und ich möchte es verstehen.

Answer 1

B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
B ( 1) / B ( t )  * 100 wäre die Restmenge nach 1 min
B0 * e^(-0.017*1 ) / B0 = e^(-0.017*1 ) = 0.9831
98.31 % sind noch vorhanden
1.69 %

Mit 0.0173
e^(-0.0173 ) = 0.9828
1.715

Was hast du für z eingesetzt ?

Comments

B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
B ( 10 ) = B0 * e^(-0.017*10 )
B ( 10 ) / B0 = e^(-0.017*10 )
B ( 10 ) / B0 = e^(-0.017*10 )
B ( 10 ) / B0 = 0.8437
84.37 %

c) Eine Patientin erhält vor Beginn einer Operation 2mg des Medikaments und danach zweimal in Abständen von einer Stunde je 1 mg. Wie viel des Medikaments sind am Ende der Operation nach 2 Stunden 30 Minuten im Körper noch wirksam?

B ( t ) = 2 * e^(-0.017*t )

Menge  des Anfangsmedikaments nach 150 min
B ( 150 ) = ...
Menge Medikamentengabe von 1 Std
B ( 90 ) = ...
Menge Medikamentengabe von 2 Std
B ( 30 ) = ...

B ( 150 ) plus B ( 90 ) plus B ( 30 ) ist nach
2 1/2 Std vorhanden.

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Wie kommst du auf diese Gleichung: B ( 1) / B ( t )  * 100 wäre die Restmenge nach 1 min? Wieso muss man das teilen?

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Zunächst einmal eine kleine Fehlerkorrektur

Anstelle
B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
B ( 1) / B ( t )  * 100 wäre die Restmenge nach 1 min
B0 * e^(-0.017*1 ) / B0 = e^(-0.017*1 ) = 0.9831

muß es heißen
B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
B ( 1) / B ( 0 )  * 100 wäre die Restmenge nach 1 min
B0 * e^(-0.017*1 ) / B0 = e^(-0.017*1 ) = 0.9831

Was ist der Clou an den Berechnungen über den
Zerfall in %
Zerfallsfunktion
B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
Beispiel Anfangsmenge 500 mg nach 10 min
B ( 10 ) = 500 * e^(-0.017*10 )
B ( 10 ) = 421.83 mg
Restmenge in %
( Menge nach 10 min ) durch Anfangsmenge
421.83 / 500 = 0.8437  => 84.37 %

Manchmal ist die Ausgangsmenge gar nicht
angegeben sondern es wird lediglich gefragt
wieviel % der Ausgangsmenge nach einer Zeit
vorhanden sind
B ( t ) = B0 * e^(-0.017*t )
Jetzt die Ausgangsmenge auf die anderen Seite
ergibt
B ( t ) / B0 = e^(-0.017*t )
Frage z.B. : wann sind noch 73 % der
Ausgangsmenge vorhanden
B ( t ) / B0 = 0.73 = e^(-0.017*t )
0.73 = e^(-0.017*t ) bekommst du sicherlich
nach t umgestellt und berechnet.
27 % sind zerfallen

Frage nach bis alles klar ist.

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Könntest du mir c nochmals genauer erklären, bitte?

Ich verstehe nicht, wie du auf den Wert 90 kommst und auf 30.

Du nimmst von 150min - 60 min weg um auf 90 zu kommen.

150 - 120 = 30. ahaa..

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ich nehme an du hast es schon
Wirkungsdauer 1. Medikamentengabe 150 min
Wirkungsdauer 2. Medikamentengabe 90 min
Wirkungsdauer 3. Medikamentengabe 30 min

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Ich habe es schon geschafft, danke.

Aber habe dafür einen neuen Post mit einer neuen Aufgabe, bei der ich unsicher bin.

Answer 2

0.5^(x/40) = e^(-0.01732867951·x)

0.5^(1/40) - 1 = -0.01717940145 = -1.72%

0.5^(10/40) = 0.8409 = 84.09%

2·0.5^(150/40) + 1·0.5^(90/40) + 1·0.5^(30/40) = 0.9535 mg

Comments

Und wie kommst du auf diese Berechnungen?

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Ich finde diesen Ansatz den du machst sehr interessant. Ich würde gerne wissen, weshalb das so funktioniert. Wieso kannst du einfach 0.5^ das ganze machen.

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Ich glaube, dass ich es verstanden habe.

Du setzt Lamda ein.

Danach vereinfachst du e^(-ln(2)) = 1/2

Das wäre dann

Es muss stimmen.

èeee

Stimmt meine Vermutung?

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Naja. Ich rechne das nicht so nach Formel.

Ich stelle mir zuerst immer die Wachstums oder Zerfallsfunktion auf. Daran leite ich mir die Formeln immer selber ab. Ist ja nur auflösen.