Gesucht ist eine Ebene, die Senkrecht zu einer anderen Ebene ist und durch zwei Punkte geht....

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene A: x+2z-24=0. Gesucht ist die Ebene B, die durch die Punkte C(1/0/2) und D(1/1/0) geht und senkrecht zur Ebene A ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt: der Normalvektor von A muss senkrecht auf dem Normalvektor von B stehen. $$\vec{n_A}=\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \\ \vec{n_B}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\\\vec{n_A}\cdot\vec{n_B}=0\\\text{also:}\\1x+0y+2z=0\\$$

Nun kann ich das ja mit Ausprobieren herausfinden, aber dann habe ich die Punkte vernachlässigt.

im Voraus!

Answer 1

Ein Richtungvektor ist  Normalenvektor auf A. Ein zweiter Richungsvektor ist z.B. \( \vec{CD} \) . Stützvektor ist z.B. \( \vec{OD} \) .

Comments

Ich fühle mich gerade relativ Dumm, was willst du genau sagen? (mir sagen die Begriffe Richtungsvektor und Stüztvektor nichts, wir haben die wahrscheinlich anders genannt...)

Meinst du, dass ich das Kreuzprodukt von CD und dem Normalvektor von A machen soll und dann D einsetzen soll?

---

Ebene A: x+2z-24=0 kann man auch so schreiben: \( \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =24.

\( \vec{CD} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \)  Dann lautet eine Gleichung der gesuchten Ebene:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \) .

Answer 2

Ebene B in Parameterform:

B: X = [1, 0, 2] + r * ([1, 1, 0] - [1, 0, 2]) + s * [1, 0, 2]

B: X = [1, 0, 2] + r * [0, 1, -2] + s * [1, 0, 2]