Beweisen Sie (Injektivität, Bijektivität)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:

a) sind f: A -> B, g: B -> C injektiv, dann ist g o f injektiv.

b) sind f: A -> B, g: B -> C bijektiv, dann ist g o f bijektiv. Weisen Sie zusätzlich nach, dass dann (g o f)^-1  = f  ^-1 o g ^-1

c) sind f: A -> B, g: B -> C Funktionen mit:

(Allaussage) y ∈ B: f(g(y)) = y und (Allaussage) x ∈ A: g(f(x)) = x

dann ist f bijektiv und es gilt: f^-1  = g

Problem/Ansatz:

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich hier vorgehen soll. Im Falle einer konkreten Funktionsvorschrift könnte ich Injektivität, Surjektivität oder auch Bijektivität nachweisen.

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Hallo dav_m, für Beweise braucht man immer die Definitionen.  Im Bild habe ich dir eine injektive und eine nicht injektive Abbildung gezeichnet.  Definition von Injektivität:
f: A -> B injektiv    ⇔    b1 = b2 ⇔ f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2
Siehe hierzu z. B. Wikipedia. 

Schreibe jetzt bitte auf, was
g: B -> C injektiv
und
g ° f: A -> C injektiv
laut Definition bedeuten.  Dann kannst du den Beweis antreten.  Wenn nötig helfe ich dir dabei.

Comments

Hallo dav_m, vielen Dank für „beste Antwort“, und jederzeit gerne wieder.