Geometrie: Zeigen dass das Dreieck gleichschenklig ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

Gilt für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks ∆ABC sowie für die Innenwinkel α, β und γ die Gleichung

a + b = tan\( \frac{γ}{2} \)·(a·tanα + b·tanβ),

dann ist das Dreieck ∆ABC gleichschenklig.

Vielen Dank für die Hilfe:)

Answer 1

$$a+b=tan\frac{γ}{2}\cdot (a\cdot tanα+b \cdot tanβ)\\ a+b=tan\frac{γ}{2}\cdot a \cdot tanα+tan\frac{γ}{2} \cdot b \cdot tanβ⇒\\ a=tan\frac{γ}{2}\cdot a \cdot tanα⇒\frac{1}{tan\frac{γ}2}\cdot tanα\\ b=tan\frac{γ}{2} \cdot b \cdot tanβ⇒\frac{1}{tan\frac{γ}{2}}=tanβ\\$$

Daraus ergibt sich

$$tanα=tanβ$$

was bei gleichschenkligen Dreiecken der Fall ist.

Gruß, Silvia

Comments

Du schließt:$$a+b= \tan\frac{\gamma}{2}\cdot a \cdot \tan\alpha + \tan\frac{\gamma}{2} \cdot b \cdot \tan\beta \\ \implies (?) \space a=\tan\frac{\gamma}{2}\cdot a \cdot \tan \alpha $$IMHO ist das nicht zulässig. Es wäre genau dann ok, wenn Du \(a\) verändern könntest, ohne das sich \(b\) und die drei Winkel verändern. Das ist aber in einem Dreieck nicht der Fall.

---

Hast du einen alternativen Ansatz für den Beweis oder eine andere Idee?

---

... das ist 'ne harte Nuß!