Ist das Nullpolynom p einfach eine Zahl?

Question

Situation: 

Allgemein gilt für ein Polynom \(p\): 
$$ p = \sum\nolimits_{i=0}^n a_ix^i = a_nx^n + ... + a_1x^1 + a_0. $$ Wobei \(i \in \mathbb{N}_0 \quad \text{und} \quad a_i \in \mathbb{K}. \)

Sei aber \(q\) das Nullpolynom, dann sieht es so aus: 
$$ q = \sum\nolimits_{i=0}^0 a_ix^i =  a_0x^0 = a_0*1 = a_0. $$
Da \(a_0\) eine reelle Zahl bzw. aus dem Körper \(\mathbb{K}\) kommt, ist \(a_0\) einfach eine Zahl aus einem beliebigen Körper. 



Fragen (1) und (2):

Da \(a_0\) in jedem Polynom vorkommt (wenn nichts steht gilt ja trotzdem \(a_0=0\), frage ich mich ob 
(1) nicht jede reelle Zahl, oder jede beliebige Zahl eines Körpers als das Absolutglied a_0 eines Polynoms angesehen werden kann ?
(2) Oder denke ich zu weit ?

Answer 1

Jede reelle Zahl, oder jede beliebige Zahl eines Körpers als das Absolutglied a_0 eines Polynoms angesehen werden kann ?    Ja, das ist so.

ABER: Das Nullpolynom hat ja alle Koeffizienten 0, also kann es

(in deinem Sinne) allenfalls mit  der Zahl 0 identifiziert werden.

Comments

ABER: Das Nullpolynom hat ja alle Koeffizienten 0, also kann es

(in deinem Sinne) allenfalls mit  der Zahl 0 identifiziert werden.

Was ist eigentlich das Nullpolynom: 
Achso, das Nullpolynom erfüllt \(n=0 ∧ a_0 = 0\) !

Dann ist das Nullpolynom einfach die Zahl Null, 
denn, wenn \(a_0 = 0\) und \(n = 0\)  dann muss das Nullpolynom einfach die Zahl \(0\) sein.  

Oder ?

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Das n soll ja der Grad sein. Also in einer Darstellung

ao*x^0 + a1*x^1 +a2*-x^2 + a3*x^3 + …….

mit unendlich vielen Summanden, von denen aber nur

endlich viele (oder keiner) verschieden von 0 sein darf,

gibt es im Fall : mindestens einer ist nicht 0 natürlich

einen, der bei dem x^n mit größten n steht. Das n

ist dann der Grad.

Beim Nullpolynom hat man aber Grad = -∞ definiert.

Man muss sich immer die unendlich vielen Summanden

vorstellen (beim Nullpolynom mit allen Koeffizienten 0)

damit man sowas hat wie:

Die Summe zweier Polynome ist wieder ein Polynom etc.

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Aha, daher alles Koeffizienten = Null. 

Bei der Addition, also im Falle \(n > m\) erweitere ich das Polynom p vom Grad n bis es dem Grad m des Polynoms, nennen wir es q, entspricht, jedoch immer mit dem Koeffizienten = 0.

Beispiel:

Seinen \(p\) mit Koeffiziente \(a_i, i \in \{0,..,n\}\) und \(q\) mit Koeffizienten \(b_i,\in \{0,..,m\} \) zwei Polynome gegeben durch,

\(p = 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x^1 + 2x + 2.\) deg(p) = 4
\(q = 4x^2 + 3x^1 + 2.\) deg(q) = 2

Deren Addition p+q ist wie folgt definiert. 

$$ p+q = \sum\nolimits_{i=0}^{max\{n,m\}}(a_i + b_i)x^{i} \\= \sum\nolimits_{i=0}^{max\{4,2\}}(a_i + b_i)x^{i} \\ = \sum\nolimits_{i=0}^{4}(a_i + b_i)x^{i} \\ = (a_0 + b_0)x^{0} + (a_1 + b_1)x^{1}  + (a_2 + b_2)x^{2} + (a_3 + b_3)x^{3} + (a_4 + b_4)x^{4} + (a_5 + b_5)x^{5} . $$

Folglich ist: 
$$ p + q \\ = (2 + 2)x^{0} + (2 + 3)x^{1}  + (2 + 4)x^{2} + (2 + 0)x^{3} + (2 + 0)x^{4} + (2 + 0)x^{5} \\ = 4 + 5x^{}  + 6x^{2} + 2x^{3} + 2x^{4} + 2x^{5}. $$


Was habe ich gemacht ?
Ich habe erkannt, dass deg(p) = n ungleich deg(q) = m 
Also musste ich m erweitern bis n. 

Ich glaube, dass du das gmeint hast. Richtig ?

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Ja , so war das gedacht.

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Super, danke !