Taylorpolynom Potenzreihe

Question

Aufgabe:

f(x)= (3+e^x)/(1-4x²)

Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Grades an der Stelle x0=0 unter Verwendung von bekannten Potenzreihen.

Problem/Ansatz:

mein Problem ist nicht das Taylorpolynom 3 Grades zu finden sondern die Potenzreihe dieser Funktion. Ich recherchiere schon 2 Stunden im Internet kann aber kein ähnliches Beispiel finden. Ich hoffe ich bin hier am richtigen Platz und jemand von euch kann mir helfen.

MfG,

MatheLoox

Comments

Welche Potenzreihen sind denn bekannt?

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e^x=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} \)

(1+x)^z = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} z\\n \end{pmatrix}} \)*xⁿ

Und die in der Datei gezeigten Potenzreihen:

Answer 1

Du kannst ja deine Gleichung umformen zu

f(x) * ( 1 - 4x^2 )  = 3+e^x = 3 + 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!

indem du die e-Reihe schon mal einsetzt.

Nun ist ja die Idee bei Taylor, dass man die Funktion näherungsweise durch

ein Polynom ersetzt, und wenn das 3. Grades ist, dann geht es

im Produkt f(x) * ( 1 - 4x^2 )  bis zum Grad 5 , deshalb e-Reihe bis x^5.

mit f(x) bzw. T(x) = a+bx+cx^2+dx^3 gibt das

( a+bx+cx^2+dx^3)* ( 1 - 4x^2 )  = 3+e^x = 3 + 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!

a+bx++cx^2+dx^3 - 4ax^2 - 4bx^3 - 4cx^4 - 4dx^5 = 3 + 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!

Koeffizientenvergleich liefert

a=4    b=1     c-4a = 1/2 ==>    c = 16,5

d - 4b = 1/6 ==>  d = 25/6 .

Also Ist  T(x) = 4 + x  + 16,5x^2 + 25/6 * x^3 .