Standardisierung einer Normalverteilung mit Standardabweichung unbekannt.

Question

Aufgabe:

Von einer normal verteilten Population von Menschen kennt man die durchschnittliche Körpergrösse; sie beträgt 170 cm. Ferner weiss man, dass 80% dieser Menschen zwischen 160 cm und 180 cm gross sind. a) Bestimmen Sie die Parameter μ und σ dieser Normalverteilung.

Problem/Ansatz:

μ=170, mittels Standardisierung kann ich diese Gleichung aufstellen:

 Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8

Von hier komme ich aber nicht weiter, ich wollte nun Φ(0.8) nachschauen und dann nach σ auflösen, aber das ist falsch.

Comments

Vielleicht so:
Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8
Φ(-10/σ)=0.1
10/σ=1.28155
σ=7.803.

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Hi, also deine Lösung stimmt jedenfalls, ich verstehe es aber irgendwie trotzdem noch nicht. Wie kommst du beim ersten Schritt auf 0.1? und wieso fällt Φ(10/σ) weg?

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Allgemein gilt Φ(-x)=1-Φ(x).

Answer 1

Der Symmetrie halber, gilt \(\colorbox{#FCC}{ $ \Phi(-z)=1-\Phi(z) $}\). Du kannst also vereinfachen:

$$\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1=0.8$$$$2\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=1.8$$$$\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=0.9 \quad |\Phi^{-1}(...)$$$$\frac{10}{\sigma}=1.282 \Longleftrightarrow \sigma=\frac{10}{1.282}≈ 7.8$$

Bemerkung:

$$ \begin{aligned}\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{10}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\colorbox{#FCC}{ $ \ \left(1-\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)\right)\ \, $} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1\end{aligned} $$