Ich auch nicht nicht so ganz :-) Lass mich das vielleicht mal ein bisschen sortieren:
Wir können den Satz anwenden für
Damit meine ich den Satz, den du oben gepostet hast.
Die Folge ist ja sicher eine monoton fallende Nullfolge (Index beginnt im Satz bei k=1) und der Betrag von i ist 1 und somit auch kleiner gleich 1
Also gilt nach deinem Satz für alle natürlichen Zahlen \( n \ge 1 \):
$$ \left\lvert\sum_{k=n}^\infty \frac{3^{k+2}}{(k+2)!} i^{k}\right\rvert = \left\lvert\sum_{k=n}^\infty \frac{3^{k+2}}{(k+2)!} i^{k+2}\right\rvert \le \frac{a_n}{\sqrt{2}} $$
Index shiften:
$$ \left\lvert\sum_{k=n+2}^\infty \frac{3^{k}}{k!} i^{k}\right\rvert \le \frac{a_{n}}{\sqrt{2}} $$
Bzw. für alle \( N \ge 3\):
$$ \left\lvert\sum_{k=N}^\infty \frac{3^{k}}{k!} i^{k}\right\rvert \le \frac{a_{N-2}}{\sqrt{2}} = \frac{3^{N-2+2}}{\sqrt{2}\cdot(N-2+2)!} = \frac{3^N}{\sqrt{2}\cdot N!} $$
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Und jetzt weißt du, dass für \( N \ge 3 \) dein Fehler kleiner als
$$ \frac{3^N}{\sqrt{2}\cdot N!} $$
ist. Wenn man N=1 und N=2 ausschließen kann, dann kann man damit ein N suchen, s.d.
$$ \frac{3^N}{\sqrt{2}\cdot N!} \le 10^{-4}$$
gilt. Das ist eine etwas netter und bessere Abschätzung als die Ungleichung die du (und ich in meinem ersten Kommentar) durch Abschätzen mit der geometrischen Reihe erhalten hast:
$$ \frac{3^N}{\sqrt{2}\cdot N!} \quad\textrm{vs.}\quad \frac{1}{1-\frac{3}{N+1}}\frac{3^N}{N!} $$