Definitionsbereich und Wertebereich von tan x und arctan x

Question

Die Tangens-Funktion tan x= sin x /cos x   ist stetig und streng monoton wachsend in \( \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ \)

Die Umkehrfunktion in diesem Intervall ist der Arcustangens arctan.

a) Was ist der maximale Definitionsbereich D max (arctan) und der Wertebereich W(arctan) ?

b) Zeichnen Sie die Graphen von tan und arctan in ihren jeweiligen maximalen Definitionsbereichen.

Answer 1

 

Die Tangens-Funktion tan x= sin x /cos x   ist stetig und streng monoton wachsend in 

Die Umkehrfunktion in diesem Intervall ist der Arcustangens arctan.

a) Was ist der maximale Definitionsbereich D max (arctan) und der Wertebereich W(arctan) ? 

D = R 

W = ]-pi/2 ; pi/2[

(b) Zeichnen Sie die Graphen von tan und arctan in ihren jeweiligen maximalen Defini- 
tionsbereichen.

Hier die Tangensfunktion:

und die Arcustangens Funktion

 

 

Comments

Müsste der maximale Definitionsbereich nicht "größer" sein als ]-pi/2 ; pi/2[?

Da der Tangens pi-periodisch ist, müsste der max. Definitionsbereich doch 

Dmax(tan)=R \ {k*pi + pi/2 | k ∈ Z }

lauten.

Oder hab ich da jetzt was falsch verstanden...?

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Dann ist arctan aber keine Umkehrfunktion weil der arctang ja nur auf den Bereich ± pi/2 abbildet.

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Achso stimmt, es ist Dmax(arctan)=W(tan)=R

und W(arctan)=]-pi/2 ; pi/2[

Und ohne Periodizität, da  eine Funktion jedem Wert x aus einem Definitionsbereich genau einen Wert f(x) zuordnet?