Lineare Algebra - Lineare Unabhängigkeit von Vektoren - Bitte um Erklärung.

Question

Definition der Linearen Unabhängigkeit:

Verschiedene Vektoren \(v_1, ..., v_r \in V\) heissen linear unabhängig, wenn für jede echte Teilmenge \(T\) von \(\{v_1, ...,v_r\}\) gilt \(⟨T⟩ \subsetneq ⟨\{v_1, ...,v_r\}⟩.\)

Problem:
Ich verstehe hier nichts, gar nichts.
Nur den Begriff der echten Teilmenge.

Was heisst echte Teilmenge?
Echte Teilmenge heisst, dass die Teilmenge nicht gleich der Obermenge selbst ist. 

Meine Versuch die Definition zu interpertieren: 
Ich denke dass wir sagen können, dass wir uns in einem Vektorraum \(V\) befinden.
Wichtig ist, dass dieser Vektorraum die Dimension r hat, also r Basisvektoren besitzt. 
In diesem \(V\) lassen sich nun Teilmengen bestimmen. 
Nennen wir eine dieser Teilmengen \(T\).
 
Wenn ich jetzt beliebige Elemente von \(V\), aber nicht alle Elemente von \(V\), in diese eine Teilmenge \(T\) packe, 
sagen wir die Vektoren \(v_1, v_2, v_3\) in diese Teilmenge T packe,  dann ist mein \(T gegeben durch:\)

\(T = {v1, v2, v3}.\)



Nach obiger Definition, müsste jetzt gelten, soweit ich das richtig verstanden habe,
dass wenn ich die Menge aller Linearkombinationen von  \( \{v_1, v2, v_3\}\)  bestimme,  ich dann die lineare Hülle von \(T\) erhalte, also 

\(⟨T⟩.\)

Und diese lineare Hülle von \(T\) darf nicht gleich der linearen Hülle der r Basisvektoren sein, also sie muss ungleich der linearen Hülle von \( \{v_1, v2, v_3, ..., v_r\} \) sein,
denn nur dann gilt: 

⟨T⟩ ist eine echte Teilmenge von V.

Wenn das gilt, sind alle Vektoren in V linear Unabhängig.


Frage:
Heisst das, ich nehme von einem Vektorraum V eine positive Anzahl (aber nicht alle) Vektoren und fasse sie in eine Teilmenge T zusammen.
Nun bilde ich mit den Vektoren in der Teilmenge T die Menge aller Linearkombinationen und bekomme so die lineare Hülle von T.

Wenn ich (und jetzt kommt der Knackpunkt) sehe dass die lineare Hülle von T eine echte Teilmenge von V ist, dann kann ich daraus schliessen, dass die Vektoren in T zueinander linear unabhängig sind.  

Ist das so? 



Eine Menge \(X \subseteq V\) heisst linear unabhängig, wenn je endlich verschiedene Elemente aus \(X\) linear unabhängig sind. 

Answer 1

Gegeben ist ein Vektorraum V und eine Teilmenge M = {v₁, ..., v_r} ⊆ V.

Definiert wird, wann die Vektoren aus M als linear unabhängig bezeichnet werden.

Die Vektoren aus M heißen linear unabhängig, wenn das Erzeugnis ⟨T⟩ jeder echten Teilmenge T ⊂ M eine echte Teilmenge von ⟨M⟩ ist.

dass dieser Vektorraum die Dimension r hat,

Das muss nicht sein.

(aber nicht alle) Vektoren

Das muss nicht sein.

und fasse sie in eine Teilmenge T zusammen.

Er ein mal werden die Vektoren zur Menge {v₁, ..., v_r} = M zusammengefasst. Dann werden die echten Teilmengen dieser Menge betrachtet. Diese werden mit T bezeichnet.

dass die lineare Hülle von T eine echte Teilmenge von V ist,

"dass die lineare Hülle von T eine echte Teilmenge von ⟨M⟩ ist,"

dann kann ich daraus schliessen, dass die Vektoren in T zueinander linear unabhängig sind. 

Nur dann, wenn das für jede echte Teilmenge T ⊂ M gilt.