Determinante mit Hilfe des Blocksatz/Kästchensatz ausrechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Determinante durch Anwendung des Kästchensatzes:

$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {2} & {5} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {3} & {5} \\ {0} & {0} & {1} & {2} & {0} \\ {4} & {5} & {4} & {2} & {1} \\ {2} & {1} & {3} & {0} & {2}\end{array}\right)$$

Problem/Ansatz:

Heyho,

für eine 4x4 Matrix habe ich es hinbekommen, wie mache ich das aber bei einer 5x5 Matrix? Die Struktur haut da ja nicht hin?

B und D müsste ja bei einer 4x4 Matrix z.B. eine 2x2 Matrix sein.

$\begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix} B & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$

LG

Answer 1

Vertausche zunächst die Zeilen 1 und 5, sowie 2 und 4 und erhalte$$\det\left(\begin{array}{ccccc}0&0&2&5&1\\0&0&2&3&5\\0&0&1&2&0\\4&5&4&2&1\\2&1&3&0&2\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{cc|ccc}2&1&3&0&2\\4&5&4&2&1\\\hline0&0&1&2&0\\0&0&2&3&5\\0&0&2&5&1\end{array}\right)$$$$=\det\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}\cdot\det\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&5\\2&5&1\end{pmatrix}=6\cdot(-6)=-36.$$

Comments

Schöne Antwort! +1

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Ah, Dankeschön. Da habe ich wohl was missverstanden, dachte das die anderen Matrizen immer die selbe Quadrat Anzahl haben muss. Ich schließe mich meinem Vorredner an, schöne Antwort. ;)

LG und schönen Abend!