Goldener Schnitt g = 1 + 1/g: g bestimmen - Induktionsbeweis - formaler Beweis

Question

Die positive Zahl \( g \) welche \( g = 1 + \frac{1}{g} \) erfüllt, heißt goldener Schnitt.

a) Bestimmen Sie \( g \)

b) Es sei \( (x_n)_{n \in ℕ} \) eine Folge reeller Zahlen, gegeben durch \( x_0 = 1 \) und \( x_{n + 1} = 1 + \frac{1}{x_n} \).

Zeigen Sie, dass gilt: \( |x_n - g| \leq \frac{1}{g^n} \)

Hinweis: Vollständige Induktion

c) Zeigen Sie, dass gilt: \( x_n \rightarrow^{n \to \infty} g \) 

Persönliche Anmerkung: Ich hoffe, dass es ok ist mehrere Teilaufgaben zu posten

Comments

Tipp: https://www.mathelounge.de/352037/fibonacci-und-goldener-schnitt-beweis-per-induktion

Answer 1

Leider sagst du nicht womit du Probleme hast. Bereitet dir a) bereits Probleme. Da könnten dir Gleichungslöser wie die App Photomath hilfreich zur Seite stehen.

a)

g = 1 + 1/g

mit g multiplizieren

g^2 = g + 1

pq-formel anwenden

g^2 - g - 1 = 0 --> g = √5/2 + 1/2 = 1.618033988

Comments

Oh mein Gott, ich sah wohl vor lauter Bäumen den Wald kaum...

Grundsätzlich habe ich mit so einfachen Gleichungen überhaupt keine Probleme nur irgendwie habe ich da nicht an eine Gleichung gedacht und es mir unnötig verkompliziert.

bei b) und c) fehlt mir da jeweils der Ansatz. Der Ind. Beweis scheint so ungewohnt "anders".

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b) ist doch eine einfache vollständige Induktion.

Du machst zwei Sachen

1. Du zeigst das die das die Ungleichung für ein n gilt. Das kann hier n = 0. Du kannst es auch noch für n = 1 zeigen.

2. Als nächstes zeigst du das, wenn die Ungleichung für ein n gilt, dass sie auch für n + 1 gilt.

Probier das mal. Das ist nicht so schwer.

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Hey, ich weiß die Frage ist jetzt schon ne Weile alt, aber ich sitze an dem selben Problem und konnte die a lösen, bei der b fällt mir aber bereits das Umformen wegen dem Betrag sehr schwer:

Der Induktionsanfang ist klar, wird n = 0 gewählt lande ich ja bei |1-g| <= 1/g^0 und das kann ich auch Lösen, aber ich komme nicht drauf wie ich Im Induktionsschritt die Voraussetzung anwenden kann, also wie ich das umformen muss damit ich drauf komme.

Ich hoffe sehr du bist noch aktiv und kannst mir da einen Tipp geben. Danke!

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Diese Frage wurde neulich wieder gestellt. Schau mal hier:
https://www.mathelounge.de/915264/goldenen-schnitt-berechnen?show=915294#c915294.

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Vielen Dank!!!

Answer 2

a)

\(g=1+\dfrac{1}{g} \\ \Leftrightarrow g-1=\dfrac{1}{g} \\ \Leftrightarrow (g-1)\cdot g = 1 \\ \Leftrightarrow g^2-g-1=0\\ \rightarrow g_{1,2}=0.5\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

(neg. Lösung entfällt)

Answer 3

Vom Duplikat:

Titel: Goldenen Schnitt berechnen

Stichworte: induktion,schnitt

Aufgabe:

Die positive Zahl \( g \) welche \( g=1+\frac{1}{g} \) erfüllt, heißt goldener Schnitt.

(i) Bestimmen Sie \( g \).

(ii) Es sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen, gegeben durch \( x_{0}=1 \) und \( x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}} \). Zeigen Sie, dass gilt
\( \left|x_{n}-g\right| \leq \frac{1}{g^{n}} \)
Hinweis: Vollständige Induktion.

(iii) Zeigen Sie, dass gilt \( x_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} g . \)

Problem/Ansatz:

Answer 4

(1) g=1+1/g |-1-1/g

g-1/g-1=0  |·g

g²-g-1=0

pq-Formel

g_1/2=1/2±\( \sqrt{1/4+1} \)

g_1/2=(1±√5)/2.

Comments

zu (ii)

zu zeigen ist:$$\left|x_n - g\right| \stackrel{?}{\le} \frac1{g^n} $$Induktionsanfang mit \(n=0\):$$x_0=1: \quad \left|1 - g\right|=\frac12\left(\sqrt 5 - 1\right) \le \frac1{g^0}=1 \space \checkmark $$Induktionsschritt von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} \left|x_{n+1} - g\right| &= \left|1+\frac1{x_n} - \left(1 + \frac 1g\right)\right|\\ &= \left|\frac1{x_n} - \frac 1g\right| \\ &= \left|\frac{g-x_n}{x_n g}\right| \\ &= \frac 1g\left|\frac{g-x_n}{x_n}\right| &&\left|\,x_n \ge 1\right. \\ &\le \frac 1g\left|g-x_n\right| &&\left|\,\text{lt. Vor.}\right.\\ &\le \frac 1{g^{n+1}}\\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$und (iii) folgt direkt aus (ii).

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sollte im ersten schritt nicht einfach der betrag der folge minus g stehen? warum wird g auch noch in die folge eingesetzt?

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sollte im ersten schritt nicht einfach der betrag der folge minus g stehen?

das steht doch da !? $$|x_0-g| = |1-g|$$weil \(x_0=1\) ist.

warum wird g auch noch in die folge eingesetzt?

Im Induktionschritt wird nicht \(g\) in die Folge eingesetzt, sondern man ersetzt \(g\) durch den Term \(\left(1+\frac1g\right)\), was ja laut Definition das gleiche ist.

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ahhh, das ist natürlich schlau, danke!! das habe ich nicht gesehen...

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eine kurze Frage noch, vielleicht ein bisschen dumm, aber was bedeutet lt. Vor.? bzw. was passiert das im letzten Schritt? und inwiefern folgt die iii) aus der ii)? Danke schonmal, irgendwie verstehe ich das gerade nicht so...

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was bedeutet lt. Vor.?

„lt. Vor.“ bedeutet ‚laut Voraussetzung‘. Es liegt doch im Wesen des Beweises per Induktion, dass man im Induktionsschritt irgendwann die Voraussetzung wieder einsetzt.

was passiert das im letzten Schritt?

Die Voraussetzung war$$|x_n-g|\le \frac1{g^n}$$dann ist doch$$\frac1g|x_n-g|\le \frac1{g^{n+1}}$$

Und inwiefern folgt die iii) aus der ii)?

Der Term \(1/g^n\) geht für n gegen unendlich gegen 0. Der gleiche Term ist aber größer als \(|x_n-g|\) wie in (ii) bewiesen. Wenn aber diese Differenz gegen 0 geht, dann muss zwangsläufig \(x_n\) gegen \(g\) laufen.

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vielen Dank für die Erklärung!