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Um zu beweisen, dass jede Gruppe der Ordnung 7 zyklisch ist, können wir den Satz von Lagrange und grundlegende Gruppentheorie verwenden. Der Satz von Lagrange besagt, dass in einer endlichen Gruppe \(G\) die Ordnung jeder Untergruppe von \(G\) ein Teiler der Ordnung von \(G\) ist.
Schritt 1: Betrachten der Ordnung der Gruppe
In unserem Fall hat die Gruppe \(G\) die Ordnung 7. Da 7 eine Primzahl ist, haben die möglichen Ordnungen der Untergruppen von \(G\) nur die Werte 1 oder 7.
Schritt 2: Untergruppen der Ordnung 1 und 7
Eine Untergruppe der Ordnung 1 ist immer die triviale Untergruppe, die nur das neutrale Element \(e\) enthält. Eine Untergruppe der Ordnung 7 ist die Gruppe selbst.
Schritt 3: Verwendung des Satzes von Lagrange
Nehmen wir an, \(G\) ist nicht zyklisch. Dann existiert kein Element \(g \in G\) außer dem neutralen Element, so dass die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(G\) selbst ist. Dies würde bedeuten, dass jedes Element \(g \in G\), \(g \neq e\), eine Untergruppe von \(G\) mit einer Ordnung kleiner als 7 erzeugt. Aber nach dem Satz von Lagrange müsste diese Ordnung ein Teiler von 7 sein, und da 7 eine Primzahl ist, gibt es keine anderen Teiler außer 1 und 7 selbst. Da kein Element \(g\) (außer \(e\)) die triviale Untergruppe erzeugen kann, müsste jedes Element eine Untergruppe der Ordnung 7 erzeugen, was bedeutet, dass jedes Element \(g\) die Gruppe \(G\) erzeugen würde.
Schritt 4: Widerspruch und Schlussfolgerung
Das führt zu einem Widerspruch zur ursprünglichen Annahme, dass \(G\) nicht zyklisch ist. Daher muss mindestens ein Element \(g \in G\) existieren, so dass die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(G\) selbst ist. Dies beweist, dass \(G\) eine zyklische Gruppe ist.
Fazit
Durch den Satz von Lagrange und grundlegende Überlegungen zur Ordnung von Elementen in Gruppen können wir schließen, dass jede Gruppe der Ordnung 7 zyklisch sein muss, da sie von mindestens einem ihrer Elemente erzeugt wird.
