Exponentialgleichung: zwei verschiedene Basen 2^{2x-7} · 27 = 3^{2x-4}

Question

Aufgabe:

2^{2x-7} · 27 = 3^{2x-4}

Problem/Ansatz:

Kann man diese Aufgabe rechnen, ohne zu logarithmieren?

Answer 1

Kann man diese Aufgabe rechnen, ohne zu logarithmieren?

JA

2^(2x-7) *27=3^ (2x-4)

2^(2x) *2^(-7) *3^3= 3^(2x) *3^(-4)

(2^(2x)) /(3^(2x)) = ((3^(-4)) /(3^3)) *2^7

(2/3)^(2x)= (2^7)/(3^7)

2/3)^(2x)= (2/3)^7

Exponentenvergleich:

2x=7

x=7/2

Comments

Vielen Dank für die Antwort,ich habe eine Kleine Frage,wenn es möglich ist:

2^(2x)/ 3^(2x) =3^(-4)/3^3*2^(7)

Bei welcher Zahl haben Sie gekürzt,dass

Von 3^(-4)/3^3*2^(7) => 2^7/3^7 geworden ist ?

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(3^(-4))/3^3= 3^(-4-3)=3^(-7)

zusammen:

=(3^(-7)) *2^7

=(1/(3^7)) *2^7

=2^7/3^7

Answer 2

Wie wäre es denn so? $$2^{2x-7} \cdot 27 = 3^{2x-4}\quad\vert\quad\cdot\dfrac{1}{27}=3^{-3} \\[4mm] \Leftrightarrow\quad 2^{2x-7} = 3^{2x-7} \\[4mm] \Leftrightarrow\quad 2x-7 = 0 \\[4mm] \Leftrightarrow\quad x = \dfrac 72.$$Dabei gefällt mir vor allem die vorletzte Umformung.

Comments

Sehr schön! Aber warum gefällt dir die Umformung?

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Sie hat etwas magisches...

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Schon, vor allem weil die Basen ungleich sind. Aber im Prinzip ist ja \(a^0=b^0=c^0=....=1\)

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Sehr schön! Aber warum gefällt dir die Umformung?

Die Frage ist, ob hier eine Umformung vorliegt.

Und wenn ja, wie sieht diese Umformung aus, wenn entsprechend dem Thema auf Logarithmieren verzichtet wurde?

Es ist doch vielmehr eine Schlussfolgerung in eine Richtung (nach dem Motto: 2x-7 MUSS 0 sein, weil sonst 2^2x-7 nicht gleich 3^2x-7 sein könnte).