Beweise, dass die Reihe absolut konvergiert.

Question

Sei ∑^∞_n=0 a_n eine unendliche Reihe. Es gebe ein θ mit 0 < θ < 1 und ein n₀ ≥ 0, so dass

\( \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \theta \) für alle \( n \geq n_{0} \)

a) Beweise, dass die Reihe absolut konvergiert.

b) Zeige, dass die Bedingung \( \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 \) für alle n ≥ n₀ nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe ∑ a_n ist. Ist dies eine notwendige Bedingung?

Answer 1

Zu a)

Aus der Bedingung folgt |a_n| ≤ θⁿ , also ist die geometrische Reihe eine konvergente Majorante ⇒ die Reihe konvergiert

Zu b)

ich habe gerade kein Beispiel parat, aber die Idee ist, dass du ein konkretes q < 1 brauchst mit ⁿ√|a_n| < q, da ja die Wurzel gegen 1 konvergieren könnte. Dann bist du zwar mit jedem Folgenglied kleiner als 1, aber du kommst unendlich nah an 1 ran, dann geht dein Kriterium kaputt.