Die Familie der Spaltenvektoren v1, ..., vn−1 ∈ Kn sei linear unabhängig.

Question

Aufgabe:   Die Familie der Spaltenvektoren v₁, ..., v_n−1 ∈ Kⁿ sei linear unabhängig. Zeigen Sie, dass ein Spaltenvektor x ∈ Kⁿ genau dann zur linearen Hülle dieser Familie gehört, wenn  det(v₁,...,v_n−1,x) = 0.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(\vec x\in K^n\) zur linearen Hülle gehört, gibt es \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{R}\) mit \(\vec x=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_i\cdot\vec v_i\), daher gilt:

$$\text{det}\left(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_{n-1},\vec x\right)=\text{det}\left(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_{n-1},\sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_i\cdot\vec v_i\right)$$Da die Determinante linear bezüglich jeder Spalte ist, gilt weiter: $$=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_i\cdot\text{det}\left(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_{n-1},\vec v_i\right)$$Da die Determinante \(0\) ist, wenn 2 Spaltenvektoren gleich sind, gilt weiter:

$$=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\alpha_i\cdot0=0$$

Wären nun alle \(v_1,v_2,\ldots,v_{n-1}\) und \(\vec x\) linear unabhängig, könnte man die Matrix \(A\) bestehend aus den Spaltenvektoren durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen, wobei alle Diagonalelemente ungleich 0 wären. Nach dem Entwicklungssatz wäre die Determinante dann gleich dem Produkt aller dieser Diagonalelemente und damit ungleich \(0\). Im Umkherschluss bedeutet dies:

$$\text{det}\left(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_{n-1},\vec x\right)=0\quad\Rightarrow\quad\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_{n-1},\vec x\; \text{ linear abhängig}$$