Determinante von folgender Matrix bestimmen

Question

meine Matrix lautet wie folgt und ich benötige die Determinante :

x + y           y + z        z + x

x^2 + y^2       y^2 + z^2      z^2 + x^2

x^3 + y^3       y^3 + z^3      z^3 + x^3

Ich benötige die Determinante um eine weitere Aufgabe zu berechnen, also kann diese nicht mit Sarrus berechnet werden und sollte möglichst kurz sein.

Answer 1

Sarrus:   - 2·x^3·y^2·z + 2·x^3·y·z^2 + 2·x^2·y^3·z - 2·x^2·y·z^3 - 2·x·y^3·z^2 + 2·x·y^2·z^3

Faktorzerlegung:

die einfachste Form der Determinante dürfte   2·x·y·z·(x - y)·(x - z)·(z - y)  sein.

Gruß Wolfgang

Comments

wie kommt man auf das Ergebnis der Faktorzerlegung ?

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Klammere zuerst 2xyz aus:

2xyz·(x^2·(z - y) + x·(y^2 - z^2) - y·z·(y - z))

2xyz·(x^2·(z - y) + x·(y-z)·(y+z) + y·z·(z - y))

Klammere (z-y) aus:

2xyz·(z-y)·(x^2 - x·(y + z) + y·z)  

pq-Formel für (...) = 0  ergibt x₁ = y  ,  x₂ = z

und damit x² - x·(y + z) + y·z = (x - y)·(x - z)

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vielen dank für die Rechnung

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immer wieder gern :-)