Determinante von folgender Matrix bestimmen

Question

meine Matrix lautet wie folgt und ich benötige die Determinante :

x + y           y + z        z + x

x² + y²       y² + z²      z² + x²

x³ + y³       y³ + z³      z³ + x³

Ich benötige die Determinante um eine weitere Aufgabe zu berechnen, also kann diese nicht mit Sarrus berechnet werden und sollte möglichst kurz sein.

Answer 1

Sarrus:   - 2·x³·y²·z + 2·x³·y·z² + 2·x²·y³·z - 2·x²·y·z³ - 2·x·y³·z² + 2·x·y²·z³

Faktorzerlegung:

die einfachste Form der Determinante dürfte   2·x·y·z·(x - y)·(x - z)·(z - y)  sein.

Gruß Wolfgang

Comments

wie kommt man auf das Ergebnis der Faktorzerlegung ?

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Klammere zuerst 2xyz aus:

2xyz·(x²·(z - y) + x·(y² - z²) - y·z·(y - z))

2xyz·(x²·(z - y) + x·(y-z)·(y+z) + y·z·(z - y))

Klammere (z-y) aus:

2xyz·(z-y)·(x² - x·(y + z) + y·z)  

pq-Formel für (...) = 0  ergibt x₁ = y  ,  x₂ = z

und damit x² - x·(y + z) + y·z = (x - y)·(x - z)

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vielen dank für die Rechnung

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immer wieder gern :-)