Ganzrationale Funktion T(0/0) und H(4/4) Wie lautet die Funktion?

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat in T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt.  Wie lautet die Funktion? Es wäre toll, wenn jemand die Lösung samt dem Rechenweg hätte (ich helfe gerade meiner Tochter). Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Hi,

Stelle die Bedingungen auf:

f(0) = 0 (Wegen Punkt T)
f'(0) = 0 (Wegen Extremumbedingung)
f(4) = 4 (Wegen Punkt H)
f'(4) = 0 (Wegen Extremumbedingung)

Allgemeine Funktion 3ten Grades (die hier wohl gesucht ist)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Damit allgemeine LGS aufstellen:

d = 0
c = 0
64a + 16b + 4c + d = 4
48a + 8b + c = 0

c und d in die dritte und vierte Gleichung einsetzen. Dann sind das nur noch zwei Variablen ;).

--> a = -0,125 und b = 0,75
--> f(x) = -0,125x^3 + 0,75x^2

Grüße

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat in T\((0|0)\) einen Tiefpunkt und in H\((4|4)\) einen Hochpunkt.

...hat in T\((0|0)\) einen Tiefpunkt→ Hier ist eine doppelte Nullstelle. Nullstellenform:
\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)
...und in H\((4|...)\) einen Hochpunkt.(Tangente ist dort waagerecht)  1. Ableitung
\(f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)
\(f'(4)=a(48-8N)=0\)
\(N=6\)
\(f(x)=a(x^3-6x^2)\)
H\((4|4)\)
\(f(4)=a(64-96)=-32a=4\)
\(a=-\frac{1}{8}\)
\(f(x)=-\frac{1}{8}(x^3-6x^2)\)