Differenzierbarkeit von x^n*sin(1/x)

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

f(x) = x^n*sin(1/x) für X ≠ 0

f(x) = 0  für x = 0

ich muss die Differenzierbarkeit für alle n ∈ ℕ ≥ 2 untersuchen, aber komme auf keine Lösung.

Wie würdet ihr die Aufgabe angehen?

Comments

schau dir mal die Potenzreihenentwicklung der Sinusfunktion an

Answer 1

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der beidseitige Differentialquotient

lim _{x -> x0} (f(x) - f(x0)) / ( x-x0 )

existiert.

f(x) = xⁿ * sin(1/x)

Differentialquotient :

(f(x) - f(0)) / ( x-0 ) =
xⁿ * sin(1/x) / x =
x^n-1 * sin(1/x)

sin(1/x) ist beschränkt und lim _{x -> 0} x^n-1 = 0 für n > 1.
Also ist die Funktion differenzierbar bei x=0 für n > 1.

Das gilt nicht für n = 1, weil sin(1/x) für x->0 zwischen -1 und +1 oszilliert.