Antwort mit KI erzeugt
Beweis durch Widerspruch:
Nehmen wir an, dass \(\lim_{n \to \infty} na_n \neq 0\). Das bedeutet, es existiert ein \(\epsilon > 0\) so, dass für jedes \(N \in \mathbb{N}\) ein \(n > N\) existiert, für den \(na_n \geq \epsilon\) gilt.
Die Folge \((a_n)\) ist eine monoton fallende Folge reeller Zahlen, d. h. \(a_n \geq a_{n+1}\) für alle \(n\). Daraus folgt, dass \(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \).
Da \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergent ist, folgt aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen, dass zu jedem \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(m > n \geq N\) gilt:
\(
\left| \sum_{i=n+1}^{m}a_i \right| < \epsilon
\)
Wählen wir \(n = k\) (dabei ist \(k\) so gewählt, dass \(ka_k \geq \epsilon\)) und \(m = 2k\), dann gilt für die Summe:
\(
\sum_{i=k+1}^{2k} a_i
\)
Da \(a_i\) eine monoton fallende Folge ist, gilt \(a_i \geq a_{2k}\) für alle \(i\) zwischen \(k+1\) und \(2k\). Es folgt:
\(
\sum_{i=k+1}^{2k} a_i \geq \sum_{i=k+1}^{2k} a_{2k} = ka_{2k}
\)
Aus der Annahme, dass \(na_n\) nicht gegen 0 konvergiert, ergibt sich, dass \(ka_{2k}\) für ein genügend großes \(k\) ebenfalls gegen ein \(\epsilon > 0\) konvergiert, was ein Widerspruch zur Konvergenz der Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) darstellt.
Um jetzt zu zeigen, dass unsere Annahme falsch war, erkennen wir folgendes:
- Für die Teilsumme ab \(k+1\) bis \(2k\) haben wir gezeigt, dass sie kleiner sein muss als \(\epsilon\), was direkt aus der Konvergenz der Reihe folgt.
- Gleichzeitig haben wir argumentiert, dass diese Teilsumme größer oder gleich \(ka_{2k}\) sein muss, was, unter der Falschannahme, nicht gegen 0 konvergiert.
- Das widerspricht der Bedingung, dass die Reihe konvergiert, da bei einer konvergenten Reihe die Summe der Folgenglieder für ein genügend großes \(n\) beliebig klein wird.
Fazit: Damit steht fest, dass unter der Bedingung einer konvergenten Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\), wobei \(a_n\) eine monoton fallende Folge ist, der Ausdruck \(na_n\) notwendigerweise gegen 0 konvergieren muss. Unser anfänglicher Widerspruch zeigt, dass eine andere Annahme zu einem logischen Widerspruch führt, was die Gültigkeit unserer ursprünglichen Aussage bestätigt: \(\lim_{n \to \infty} na_n = 0\).
