Zeige, dass für eine Folge folgende Konvergenz gilt

Question

Aufgabe:

Zeige: Für eine Folge (a_n) n∈ℕ gilt:

a.) aus a_n→∞ folgt lim( n→∞) 1/aⁿ=0

b.)aus lim (n→∞) a_n=0 und a_n>0 für alle n∈ℕ folgt 1/a_n→+∞

Die Aufgabe hat noch folgende Zusatzbemerkung:

Die Folge a_n konvergiert uneigentlich (oder divergiert bestimmt) gegen ∞ falls gilt:

zu jedem K>0 gibt es ein N∈ℝ, so dass a_n>K für alle n∈ℕ mit n>N.

Wir schriebn lim (n→∞) a_{n =}∞ oder a_n→∞ (uneigentliche Konvergenz gegen -∞ wird analog definiert)

Comments

Zu (b) siehe hier: https://www.mathelounge.de/58798/beweis-dass-reziproke-folge-einer-nullfolge-gegen-divergiert

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danke :) das wirkt alles immer so schön einleuchtend, aber wie mans dann herleiten soll :S

ich habe zu a folgendes gefunden:

a_n>1/ε ⇔ 0<1/a_n<ε

und : jede positive KOnstante K lässt sich als 1/ε schreiben.

 

aber ich verstehe nicht das man dadurch etwas bewisen hat. genauso wenig wie in dem link

kann jemand erklären wie ich durch diese umformungen darauf komme, was ich damit bewiesen habe ?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Teil a: Aus \(a_n \rightarrow \infty\) folgt \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0\)

Um zu zeigen, dass aus \(a_n \rightarrow \infty\) folgt, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0\), nehmen wir an, dass \(a_n\) uneigentlich gegen ∞ konvergiert. Das bedeutet, dass für jedes \(K > 0\), es ein \(N \in \mathbb{R}\) gibt, sodass \(a_n > K\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n > N\).

Da \(a_n \rightarrow \infty\), können wir sagen, dass \(a_n\) für ausreichend große \(n\) beliebig groß wird. Also für jeden Wert \(a_n\), existiert ein positiver Wert derart, dass \(a_n\) diesen Wert übertrifft. Daraus folgt, dass \(\frac{1}{a_n}\) beliebig klein wird, da der Nenner \(a_n\) beliebig groß wird.

Formal können wir dies für jeden \(\epsilon > 0\) zeigen. Da \(a_n\) uneigentlich gegen ∞ konvergiert, für jedes \(M > 0\), gibt es ein \(N' \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n > N'\), wir haben \(a_n > M\). Wählen wir nun \(M > \frac{1}{\epsilon}\), so folgt, dass für alle \(n > N'\): \(\frac{1}{a_n} < \epsilon\).

Das zeigt, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0\).

Teil b: Aus \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) und \(a_n > 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) folgt \(\frac{1}{a_n} \rightarrow +\infty\)

Die Bedingung sagt uns, dass \(a_n\) gegen 0 konvergiert und dass \(a_n\) für alle \(n\) positiv ist. Wir müssen beweisen, dass \(\frac{1}{a_n}\) gegen \(+\infty\) konvergiert, d.h., für jedes \(K > 0\) gibt es ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n > N\), \(\frac{1}{a_n} > K\).

Da \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\), für jedes \(\epsilon > 0\), gibt es ein \(N'' \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n > N''\), wir haben \(0 < a_n < \epsilon\). Um zu zeigen, dass \(\frac{1}{a_n} \rightarrow +\infty\), wählen wir \(\epsilon = \frac{1}{K}\), wo \(K > 0\) ist.

Für dieses gewählte \(\epsilon\) und damit für jedes \(K > 0\), gibt es ein \(N''\) derart, dass für alle \(n > N''\), \(a_n < \frac{1}{K}\). Daraus folgt, dass \(\frac{1}{a_n} > K\) für alle \(n > N''\).

Das beweist, dass aus \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) und \(a_n > 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), folgt, dass \(\frac{1}{a_n} \rightarrow +\infty\).