Aufgabe:
Quadratische Ergänzung von $$2x^2+4xy+10xz+y^2+6yz+\frac{17}{2}z^2$$
Problem/Ansatz:
Wie findet man eine quadratische Ergänzung hiervon? Ich bin wie folgt vorgegangen:
$$=2(x^2+2xy+5xz)+y^2+6yz+\frac{17}{2}z^2$$
$$=2(x^2+x(2y+5z))+y^2+6yz+\frac{17}{2}z^2$$
$$=2(x^2+x(2y+5z)+\frac{1}{2}(2y+5z)^2-\frac{1}{2}(2y+5z)^2)+y^2+6yz+\frac{17}{2}z^2$$
$$=2(x+(2y+5z))^2-\frac{1}{2}(2y+5z)^2+y^2+6yz+\frac{17}{2}z^2$$
$$=2(x+2y+5z)^2-\frac{1}{2}(2y+5z)^2+(y+3z)^2-\frac{1}{2}z^2$$
Hier weiß ich jetzt nicht, wie ich weiter machen soll. Man soll ja den Koeffizienten vor dem x in der Klammer betrachten, diesen durch 2 teilen und das Ergebnis direkt hinzuaddieren und sofort wieder subtrahieren . Hier sind es aber 2xy und 5xz, also 2 Zahlen die vor einem x stehen. Sollen jetzt also beiden Zahlen durch 2 geteilt werden oder gibt es einen anderen Weg?
Als Lösung soll $$2x^2+4xy+10xz+y^2+6yz+\frac{17}2z^2=2\left(x+y+\frac52z\right)^2-y^2-4yz-4z^2=$$$$=2\left(x+y+\frac52z\right)^2-\left(y+2z\right)^2$$ rauskommen, aber ich sehe nicht wie man auf $$2x^2+4xy+10xz+y^2+6yz+\frac{17}2z^2=2\left(x+y+\frac52z\right)^2-y^2-4yz-4z^2$$ kommt.
