Funktionsscharen integrieren: fk(x) := (-1/k)·x² + k

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar f_k : x → $- \frac{1}{k} x^2 + k$  mit  k > 0.

a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f_k symmetrisch sind.

Mit f(x) = f(–x) ist es klar, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f_k in Abhängigkeit von k.

Die Nullstellen habe ich auch schon berechnet, Sie liegen bei N₁( k | 0 ) und N₂( –k | 0 ). Dazu Funktionsterm gleich Null gesetzt ($f(x)=-\frac{1}{k} x^2 + k = 0$)

c) Zeichen Sie den Graphen für k = 2. Habe ich auch schon skizziert.

d) Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von f_k mit der x-Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß?" Hier brauche ich Hilfe. 

Ich habe die Integralrechnung durch geführt und komme auf:

$\int\limits_{–k}^{k}$(–$\frac{1}{k}$x² + k)dx = [–$\frac{1}{3k}$x³ + kx]^k_–k

A = (–$\frac{1}{3k}$k³ + k*k) – ($\frac{1}{3k}$k³ + k*(–k)) = (–$\frac{k^3}{3k}$ + k²) – ($\frac{k^3}{3k}$ – k²) = (–$\frac{k^2}{3}$ + $\frac{3k^2}{3}$) – ( $\frac{k^2}{3}$ – $\frac{3k^2}{3}$)  =  $\frac{2k^2}{3}$ + $\frac{2k^2}{3}$ = $\frac{4k^2}{3}$ = $\frac{4}{3}$ k²

Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von fk mit der x-Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß?

Wie finde ich das k für $\int\limits_{–k}^{k}$(–$\frac{1}{k} x^2 + k) \ dx = 12$?

Answer 1

$$\frac{4}{3} k^2 \overset{!}{=} 12$$

$$k^2 = 9$$

$$k = 3 \vee k = -3$$

Comments

AHhhhhhh sooooooo...... Mann das hätte ich doch wissen sollen! Jetzt fühle ich mich blöd xD... Vielen dank für ihre Antwort :)))))

Answer 2

Das Integral hast du doch ausgerechnet. Warum verwendest du es nicht?

$\frac{4}{3}$k²=12. k=±3

Comments

*facepalm* .... man jetzt hab ich es geschnallt... #feelingstuid

Danke für die Hilfe!