Wie lange funktioniert das Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit 0,9 wenn die Komponenten unabhängig voneinander ausfallen?

Question

Aufgabe:

Ein Laborgerät besteht aus drei wesentlichen Komponenten A, B und C, die allesamt eine expoenential-verteilte Lebensdauer besitzen. Ihre mittlere Lebensdauer ist jeweils mit 4 Jahren angegeben.

Das Laborgerät arbeitet nicht, wenn mindestens eine seiner Komponenten ausfällt. Wie lange funktioniert das Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%, wenn die Komponenten unabhängig voneinander ausfallen? [Lösung: 0,14048 Jahre]

Problem/Ansatz:

Ich dachte, ich müsste hier folgendes ausrechnen,

$$1-e^{-\frac{1}{4}*x}= 0,9$$

aber dabei kommt, wenn ich die Lösung einsetze, nicht das richtige Ergebnis heraus. Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

(e^(-1/4·x))^3 ≥ 0.9 → x ≤ 4·LN(10/9)/3 = 0.1404806875

Comments

Darf ich noch fragen, wie das LN(10/9) zustande kommt? Ich bin wirklich schon 10 Jahre aus der Schule raus und kann damit nicht viel anfangen.

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Der Rechner vereinfach das soweit, wie es ihm passt. Das muss man aber selber nicht machen

(e^(-1/4·x))^3 ≥ 0.9

e^(-1/4·x) ≥ (0.9)^(1/3)

-1/4·x ≥ LN((0.9)^(1/3))

-1/4·x ≥ 1/3*LN(0.9)

-1/4·x ≥ 1/3*LN(9/10)

x ≤ -4/3*LN(9/10)

x ≤ 4/3*LN((9/10)^(-1))

x ≤ 4/3*LN(10/9)

Diese Vereinfachungen würde ich selber nie beim Auflösen machen.

x ≤ -4·LN((0.9)^(1/3))

Das tut es doch ebenso.

Answer 2

Das Gegenereignis von "Gerät fällt aus" ist "Gerät arbeiten noch".

"Gerät arbeiten noch" lässt sich konkret beschreiben durch

"Komponente A funktioniert noch

UND

Komponente B funktioniert noch

UND

Komponente C funktioniert noch"

Comments

Danke für die Antwort. Also das Gerät fällt aus, wenn eine der Komponenten kaputt ist. Ich suche aber einen Mittelwert, wie lange alle 3 Geräte mit 90%iger Wahrscheinlichkeit funktionieren. Also

$$3*(1-e^{-\frac{1}{4}*x})=0,9$$

Da kommt aber, wenn ich für x die Lösung einsetze leider auch nicht die richtige Lösung heraus.

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Was berechnet der Ausdruck

$$ P = 1-e^{-\frac{1}{4}*x} $$

konkret für eine Wahrscheinlichkeit. Kannst du das sagen.

Und wenn du eine Wahrscheinlichkeit mal 3 nimmst, dann kann das dazu führen, dass das Ergebnis bei über 100% liegt. Ist dir das klar? Wann werden Wahrscheinlichkeiten addiert und wann werden sie multipliziert. Das sind zwei wesentliche Dinge, die dir mit den Pfadregeln vermittelt werden sollten.

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Der Ausdruck berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät in x Jahren kaputt geht.

Dass 1 Gerät in x Jahren  nicht kaputt geht wäre dann $$1-(1-e^{-\frac{1}{4}*x})$$

Sorry natürlich, ich muss natürlich ^3 rechnen. Habe die Rechnung nun nachvollziehen können. !! Und dass man statt dem auch einfach 1- und 1- weglassen kann, war mir auch nicht bewusst. Bin einfach zu lange aus der Schule raus.

Answer 3

Aloha :)

Alle 3 Geräte A, B und C haben exponentiell verteilte Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät nach der Zeit \(t\) noch funktioiert ist also \(P(t)=e^{-\lambda\,t}\). Ihre mittlere Lebensdauer beträgt 4 Jahre. Das heißt, dass im Mittel etwa 1 Gerät alle 4 Jahre ausfällt, die Ausfallrate von A, B und C ist also \(\lambda=\frac{1}{4}\), wenn wir die Zeit in Jahren rechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Geräte A, B und C nach der Zeit \(t\) noch funktionieren ist also:$$P_{ABC}=P_A\cdot P_B\cdot P_C=\left(e^{-\lambda t}\right)^3=\left(e^{-\frac{1}{4}\,t}\right)^3=e^{-\frac{3}{4}\,t}$$Diese Wahrscheinlichkeit soll gleich 0,9 sein:$$e^{-\frac{3}{4}\,t}=0,9$$$$-\frac{3}{4}\,t=\ln(0,9)$$$$t=-\frac{4}{3}\,\ln(0,9)\approx0,14048$$