Durch Wechsel zu Polarkoordinaten zeigen dass Ausdruck gilt

Question

Aufgabe:

Durch Wechseln zu Polarkoordinaten zeigen, dass gilt:

a)

$$ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r e^{-r^{2}} d \theta d r $$

b)

$$ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\pi $$

Answer 1

Aloha :)

Die kartesischen Koordinaten \((x,y)\) kannst du durch Polarkoordinaten \((r,\varphi)\) wie folgt ausdrücken:$$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{array}\right)$$

Wegen \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) wird die ganze \(xy\)-Ebene abgetastet, das heißt, in Polardarstellung liegt der Radius im Intervall \([0;\infty]\) und der Winkel \(\varphi\in[0;2\pi]\):$$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;\infty]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten ändert sich das "Volumen" des Flächenelements, was durch die Determinante der Übergangsmatrix berücksichtigt wird:$$d(x,y)=\det\,\left(\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi)}\right)\,d(r,\varphi)=\det\,\left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{array}\right)\,d(r,\varphi)$$$$\quad=\det\,\left(\begin{array}{c}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right)\,d(r,\varphi)=\left(r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\right)\,d(r,\varphi)=r\,d(r,\varphi)$$Jetzt hast du alles, was du brauchst, um die Substitution durchzuführen:$$\int\limits_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y)=\int\limits_0^\infty dx\int\limits_0^\infty dy\,e^{-(x^2+y^2)}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\infty dr\,re^{-r^2}=$$$$\quad2\pi\cdot\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^\infty=2\pi\left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\pi$$

Comments

Es bestehen jetzt noch 2 folge Aufgaben.

3.

$$ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2} $$

4.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi} $$

Answer 2

Hi,

zu (a)

mit \( x = r \cos(\phi) \) und \( y = r \sin(\phi) \) ergibt sich

$$  x^2+y^2=r^2 $$ also

$$ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} dx dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2} r dr d\phi $$

wegen $$ \det \begin{pmatrix} x_r & x_\phi \\ y_r & y_\phi \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r \sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r \cos(\phi) \end{pmatrix} = r $$

Zu (b)

Jetzt \( u = r^2 \) substituieren, ergibt \( \frac{du}{dr} = 2r \)

$$ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2} r dr d\phi =2\pi  \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = 2\pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-u} du =  \pi  $$

Comments

Es bestehen noch 2 folgende Aufgaben:

3.

$$ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2} $$

4.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi} $$

---

Hi,

$$  \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} dx dy = \int_{\mathbb{R}} e^{-x^{2}} dx \int_{\mathbb{R}} e^{-y^{2}} dy = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2} = \pi $$

Daraus folgt sofort $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi} $$