Sinus und Cosinus (Übungsaufgaben)

Question

:)
Folgende Fragen:

Gegeben sind die Funktionen:
f(x) = 2*cos(Pi*x / 2)
g(x) = Wurzel aus 2

1. Ich soll den Wertebereich angeben. Was wird als Wertebereich bezeichnet?

2. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von Kf.

3. Berechnen Sie die exakten Schnittpunkte beider Kurven mit dem Substitutionsverfahren (haben wir nicht in der Schule gelernt, interessiert mich aber!).

Allgemeine Frage:
- Was ist eine Amplitude? Und wie kann man die Anzahl der Schnittpunkte durch die Amplitude verringern?

4. Eine Gleichung lösen: 2sin(x) - 0,5cos(x) = 0 (Bis jetzt auch noch nicht in der Schule gelernt).

Answer 1

1. Ich soll den Wertebereich angeben. Was wird als Wertebereich bezeichnet? 

Wertebereich ist der Bereich in dem die Funktionswerte liegen.

Wertebereich von f(x) ist [-2, +2]

Wertebereich von g(x) ist {√2}

 

2. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von Kf. 

Y-Achsenabschnitt

f(0) = 2

Nullstellen

2·COS(pi/2·x) = 0
COS(pi/2·x) = 0
pi/2·x = ± arccos(0)
x = ± 2/pi·pi/2 = ± 1

 

3. Berechnen Sie die exakten Schnittpunkte beider Kurven mit dem Substitutionsverfahren (haben wir nicht in der Schule gelernt, interessiert mich aber!). 

2·COS(pi/2·x) = √2

COS(pi/2·x) = √2/2
pi/2·x = ± arccos(√2/2)
x = ± 2/pi·arccos(√2/2) = ± 1/2

Ich beschränke mich hier mal auf die direkten Nullstellen. Über die Periode bekommt man aber weitere Nullstellen.

 

Allgemeine Frage: 

- Was ist eine Amplitude? Und wie kann man die Anzahl der Schnittpunkte durch die Amplitude verringern? 

Die Amplidute ist die Auslenkung einer Schwingung um die Ruhelage.

 

4. Eine Gleichung lösen: 2sin(x) - 0,5cos(x) = 0 (Bis jetzt auch noch nicht in der Schule gelernt).

2·SIN(x) = 0.5·COS(x)
SIN(x)/COS(x) = 0.5/2
TAN(x) = 0.25
x = ARCTAN(0.25)

Comments

Fragen zur Lösung:

2·SIN(x) = 0.5·COS(x)
SIN(x)/COS(x) = 0.5/2       <<<< Wie bekomme ich hier Cos wieder auf die andere Seite?
TAN(x) = 0.25                     <<<< Wieso wird der Tangens hier benutzt?
x = ARCTAN(0.25)

Danke schon eimal :)

 

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Man teilt durch den cos(x) und dann vereinfacht man sich sin(x)/cos(x) durch tan(x). Ziel ist es ja dass nur noch 1 x irgendwo in der Gleichung auftaucht.