Question

Optimieren Sie f(x,y) = x^2 y^2 unter der Bedingung g(x,y) = x^2 + y^2 = 1.

Wie funktioniert das ganze mit dem Lagrange Ansatz? - Laut Aufgabe sollen wir das mit dem Lagrange Ansatz lösen.

Answer 1

Optimiere f(x,y) = x^2 y^2 unter der Bedingung  x^2 + y^2 = 1

Ich verstehe nicht, wozu du hier Lagrange brauchst. Du kannst doch einfach die Bedingung nach y^2 auflösen: y^2 = 1-x^2. Und das dann bei f einsetzen.

Nun f(x) = x^2 (1-x^2) = x^2 - x^4 ganz normal nach x ableiten und die Ableitung Null setzen. etc.

f ' (x) = 2x - 4x^3 = 2x(1 - 2x^2)

x1 = 0          → y1=1

x2 = 1/√2      → y2 = 1/√2. Zudem noch y2b = -1/√2

x3 = -1/√2     Dasselbe.

Bitte nachrechnen und dann für alle xy-Paare noch f(x,y) berechnen und so Optimum erkennen bestimmen.

Answer 2

Optimieren Sie \(f(x,y) = x^2 y^2\) unter der Bedingung g(x,y) = x^2 + y^2 = 1

\(L(x,y,λ)=x^2y^2+λ(x^2 + y^2 - 1)\)

1.) \(L_x(x,y,λ)=2xy^2+2λx\)

2.) \(L_y(x,y,λ)=2x^2y+2λy\)

3.)\(L_λ(x,y,λ)=x^2 + y^2 - 1\)

1.) \(2xy^2+2λx=0\)        \(y^2+λ=0\)        \(λ=-y^2\)

\(x_1=0\)   \(y_1=1\)     \(y_2=-1\)

2.) \(2x^2y+2λy=0\)     \(x^2y+λy=0\)       \(λ=-x^2\)

\(y_3=0\)

\(y^2=x^2\)

3.)   \(x^2 + x^2 = 1\)     \(2x^2 = 1\)       \(x_2=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)      \(x_3=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)