Würfelwahrscheinlichkeit: Zwei Würfel werden gewürfelt.

Question

Zwei Würfel werden gewürfelt.

Wir betrachten das Ereignis A, dass die Summe der
Augenzahlen gerade und Ereignis B, dass der zweite Wurf eine 1 ist.

Sind A und B unabhägig?

Answer 1

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) * P ( B )

 

Die Ergebnismenge Q ist:

Q = { ( 1,1 ), ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ... , ( 1,6 ), ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ... , ( 6,6 ) }

| Q | = 36

 

A = ("Beide Würfe gerade oder beide Würfe ungerade")

W_A = { ( 2,2 ) ,  ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 4,2 ) ,  ( 4,4 ) ,  ( 4,6 ) , ( 6,2 ) , ( 6,4 ) , ( 6,6 ) , 

 ( 1,1 ) , ( 1,3 ) , ( 1,5 ) , ( 3,1 ) ,  ( 3,3 ) , ( 3,5 ) , ( 5,1 ) , ( 5,3 ) , ( 5,5 ) }

| W_A | = 18

P ( A ) = | W_A | / | Q | = 18 / 36 = 1 /2

 

B = ("Der zweite Wurf ist eine 1")

W_B = { ( 1,1 ) , ( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 4,1 ) , ( 5,1 ) , ( 6,1 ) }

| W_B | = 6

P ( B ) = | W_B | / | Q | = 6 / 36 = 1 / 6

 

( A ∩ B ) = ( " ( Beide Würfe gerade oder beide Würfe ungerade) und ( Der zweite Wurf ist eine 1 ) " )

W_A ∩ W_B = { ( 1,1 ) , ( 3,1 ) , ( 5,1 ) }  

| W_A ∩ W_B | = 3

P ( A ∩ B ) = | W_A ∩ W_B | / | Q | = 3 / 36 = 1 / 12

 

Es gilt offenbar:

 1/ 12 = P ( A ∩ B ) = P ( A ) * P ( B ) = ( 1 / 2 ) * ( 1 / 6 ) = 1 / 12

Also sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.