ich soll zeigen, dass durch
A ~ B <=> A und B sind Äquivalent
eine Äquivalenzrelation auf der Menge M(mxn,K) gegeben ist.
Der Beweis über die Definition mit es existieren S, T, sodass B=SAT^-1 war gut durchführbar und ist verständlich.
Allerdings habe ich mich gefragt, ob man diese Aussage auch direkt über den Rang beweisen kann.
Denn in meinem Skript steht das Lemma:
"Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Insbesondere ist jede Matrix vom Rang r äquivalent zu
\( \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) "
Kann ich nicht dann direkt zeigen, dass eine Äquivalenzrelation gegeben ist?
Hier scheint mir der Beweis sofort trivial, allerdings frag ich mich, warum dann die "kompliziertere Lösung" über die Transformationsmatrizen gewählt wurde. Gibt es bei der Argumentation über den Rang einen Haken?
Mit freundlichen Grüßen
