Schnittmenge von zwei Ebenen die nicht in Parameterform oder Koordinatenform gegeben sind.

Question

Aufgabe:

Ebene-Ebene Schnittmenge
Ebene 1: < x − (0, 0, 1) >= 0
Ebene 2: < x − (0, 1, 0) >= 0

Problem/Ansatz:

Wie löst man die Schnittmenge wenn man die Ebenen nicht in Koordinatenform/Parameterform gegeben hat?

Comments

Ich denke , da fehlt was . etwa so

< x − (0, 0, 1)   ,  (?,?,?)  >  = 0

Dann ist  (?,?,?)  ein Normalenvektor von E.

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Ich denke , da fehlt was . etwa so

< x − (0, 0, 1)  ,  (?,?,?)  >  = 0

oder so: $$\left< x,\,\begin{pmatrix} 0& 0& 1\end{pmatrix}^T \right>= 0$$

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Was bedeuten die Zeichen <, >?

Wenn im ersten Falle \( \vec{x} \) - \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) gemeint sein sollte - ist damit eine Ebene gegeben?

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Also wenn es <x, (0 0 1)^T> wäre dann hätte ich die normale der ebene gegeben und könnte damit die Ebene in Koordinatenform umwandeln sehe ich das richtig?

@Roland

<vector x, vextor y> Stellt das Skalarprodukt der Vektoren x,y dar

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Was bedeuten die Zeichen <, >?

das ist das Skalarprodukt.

... ist damit eine Ebene gegeben?

Nein - das wäre der Punkt \((0,\,0,\,1)^T\)

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Also wenn es \(<x, (0,\,0,\, 1)^T>\) wäre, dann hätte ich die normale der ebene gegeben und könnte damit die Ebene in Koordinatenform umwandeln sehe ich das richtig?

Ja - das ist richtig. Was soll den nun dieses

Ebene 1: < x − (0, 0, 1) >= 0

sein? rein formal steht dort eine Differenz von zwei Vektoren zwischen spitzen Klammern

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Ja die Differenz steht dort, vermute mal aber das es sich hier vielleicht um ein Druckfehler handelt.

Answer 1

Es steht dir frei, die Gleichung der Ebene in einer vorliegenden Form in jede mögliche andere Darstellungsform umzuwandeln und damit weiterzuarbeiten.

Answer 2

Die Normalenform lässt sich mithilfe des Distributivgesetzes zu der Koordinatenform ausmultiplizieren.

Trotzdem fehlt hier ein Vektor (siehe mathef).

Answer 3

Wenn

< x − (0, 0, 1) > = 0

ein Druckfehler beinhaltet und es eigentlich

< x, (0, 0, 1) > = 0
x * (0, 0, 1) = 0
x3 = 0

lauten sollte dann ist das ja die Normelenform die man durch ausmultiplizieren in die Koordinatenform bringen kann.

Die andere Ebene wäre dann entsprechend

x2 = 0

Für die Schnittmenge gilt also x2 = x3 = 0 also [x1, 0, 0] und damit ist dann die x-Achse gemeint.