Inhomogene DGL Ansatz partikuläre Lösung

Question

Aufgabe:

y' -2*y =e^(2*x) *ln(x) , für x>0

Problem/Ansatz:

Also ich habe Probleme beim Finden des Ansatzes der partikulären Lösung. Die homogene Lösung ist yh=e^(2*x). Vorallem das ln(x) in der Störfunktion bereitet mir Probleme. Als Ansatz hatte ich A*e^(2*x) *ln(x) aber das stimmt offenbar nicht.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen. Danke

Comments

Erstmal danke für eure Hilfe.

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich die DGL mit Variation der Konstanten gelöst habe aber ich kam aufs richtige Ergebnis mit folgender Formel:

yp= e^(-A(x)) *∫(r(x) *e^(A(x)))dx

A(x) ist aus der homogenen Lösungen zu entnehmen und entspricht -2x

Eingesetzt wäre es dann:

yp= e^(2x) *∫((e^(2x) *ln(x)) *e^(-2x))dx

Gelöst ist es dann:

yp=e^(2x) *x*(ln(x) -1)

Answer 1

Die partikuläre Lösung kannst Du nur über die Wronski Determinante bestimmen, falls

Ihr sowas behandelt hattet.

Ansonsten kann Du mit Variation der Konstanten diese DGL lösen.

Comments

Ich muss vorweg schicken: Meine Kenntnisse bezüglich DGl sind etwas rudimentär. Aber hier habe ich ein logisches Problem:

Die partikuläre Lösung kannst Du nur über die Wronski Determinante bestimmen, falls, Ihr sowas behandelt hattet.

Ansonsten kann Du mit Variation der Konstanten diese DGL lösen.

Es geht (wie ich das interpretiere) angeblich NUR so, laut nächsten Satz aber auch mit einem anderen Verfahren.
Verstehe ich etwas falsch, oder geht es im zweiten Teil der Antwort um etwas anderes?

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@abakus:

Die "partikuläre" Lösung kann man nur mit Wronski lösen. Wenn man aber auch direkt mit der Gesamtlösung zufrieden ist, gibt es die Variation der Konstanten als Alternative die zum Ziel führt.

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Vielen Dank für die Klarstellung.

Answer 2

normal löst man das mit Variation der Konstanten. Hier sollst du wahrscheinlich geschickt raten.

Die Ableitung von LN(x) ist 1/x, also bietet sich als Ansatz

y_p = x*e^{2x}LN(x) an

y_p' -2y= e^{2x}LN(x) +2xe^{2x}LN(x)+ e^{2x}  -2xe^{2x} =e^{2x}LN(x) + e^{2x}

Stimmt also noch nicht ganz.

Answer 3

Probiere mal

y = (c-x+x*ln(x))*e^(2x)

Ich denke das klappt.