Flächenstück: Volumina,Funktion f und g

Question

Aufgabe:

Das Flächenstück,das von der Geraden g und dem Graphen der Funktion f begrenzt wird,rotiert einmal um die y-Achse,einmal um die y-Achse.

f(x)= 2* (x)^1/3

Gerade g: X=(0/0)+t(1/2)

Problem/Ansatz:

Es seien Vx und Vy die dabei entstehenden Volumina.Wie viel Prozent von Vy ist Vx?

Ich wäre sehr Dankbar für die ausführliche Antwort !

Answer 1

Ich bekomme da irgendwie etwas anderes heraus. Also mal sorgfältig prüfen.

a)

Vx = ∫(0 bis 1) (pi·((2·x^(1/3))^2 - (2·x)^2)) dx = 16/15·pi

b)

y = 2·x^(1/3) --> x = 0.125·y^3

y = 2·x --> x = 0.5·y

Vy = ∫(0 bis 2) (pi·((0.5·y)^2 - (0.125·y^3)^2)) dy = 8/21·pi

Vx / Vy = (16/15·pi) / (8/21·pi) = 2.8 = 280%

Answer 2

Erst mal um die x-Achse:

Für f bekommst du:   V_f =  π * ∫_o¹  y^2 dx =  π * ∫_o¹ 4*x^(1/9) dx = 18π/5

und für g entsprechend mit y=2x gibt es Vg=4π/3

also für das Stück dazwischen Vx = 34π/15

Und um die y-Achse   Vf =  π * ∫_o²  x^2 dy = π * ∫_o²  y^6 / 4  dy =32π/7

und V_g= π * ∫_o²  y^2/4 dy =2π/3  also  V_y=82π/21.

V_x / V_y =  119/240 ≈ 0,496 also etwa 49,6%.