Aufgabe:
Bestimmen Sie den Hauptnormalenvektor von c(t)=\( \begin{pmatrix} 1\\t\\t^3 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:
Zuerst habe ich den Tangenteneinheitsvektor bestimmt, also einfach \( \begin{pmatrix} 1\\t\\t^3 \end{pmatrix} \) einmal nach t ableiten und das dann durch den betrag teilen. Damit erhalte ich: T(t)=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\3t^2 \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{sqrt(1+9t^4)} \).
Dann, um den Hauptnormalenvektor zu berechnen, leite ich T(t) nach t ab und erhalte somit \( \begin{pmatrix} 0\\0\\6t \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{6t} \) ( \( \frac{1}{sqrt(1+9t^4)} \) sollte sich ja rauskürzen). Und somit \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) .
Mein Problem nun ist, dass das ja eigentlich nicht stimmen kann, da das Skalarprodukt \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) · \( \begin{pmatrix} 0\\1\\3t^2 \end{pmatrix} \) ja nur für t=0 0 ist. Aber der Hauptnormalenvektor sollte doch immer orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor sein, oder nicht?
