Wie viele aufgepustete Luftballone passen in ein Zimmer?

Question

Aufgabe: Wie viele aufgepustete Luftballone passen in ein Zimmer (4.7 m lang , 2.7 Meter breit und 2.5 m hoch)?

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man diese Aufgabe?

Bitte mit Lösungsweg

Comments

Das hängt wohl sehr von der Größe der Luftballons ab.

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Vgl. https://www.mathelounge.de/33112/wie-viele-luftballons-in-einen-raum mit anderen Zahlen.

Answer 1

Ich habe mich mit der dichtesten Kugelpackung
beschäftigt.
Zunächt einmal 1 Ebene / Lage

d = Durchmeser Cent-Stück

ungünstigste Packung
günstigste Verteilung

schräg links = d
unten = 1/2 * d
Vd = vertikaler Abstand

d^2 = (1/2*d)^2 + vd^2
d^2 - 1/4*d^2 = vd^2
vd = √ ( 3/4 * d^2 ) = 0.87 * d

Der horizontale Abstand bleibt gleich.
Der vertikal Abstand ist 0.87 * d.
Es passen 1/0.87 = das 1,15 fache mehr
Kreise auf dieselbe Fläche.

Geht nachher noch weiter.

Comments

Hier die wohl dichteste räumliche
Kugelanordnung

Die Kugel in der 2.Lage liegt mittig
zu den 3 unteren Kugeln

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Hier die Draufsicht der 3 unteren Kugeln.
Gesucht ist der Abstand z zum Mittelpunkt

Sinussatz
( sin 120 ) / d = ( sin 30 ) / z
z = d * ( sin 30 ) / ( sin 120 )
z = d * 0.577

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Räumlich ist der Zusammenhang

 

z^2 + h^2 = d^2
( 0.577 * d )^2 + h^2 = d^2
h^2 = 0.667 d^2
h = 0.817 * d

h ist der Abstand der Lagen

Insgesamt horizontal und vertikale Einsparung
0.87 * 0.817 = 0.71

Die dichteste Kugelpackung kann
1 / 0.71 = 1.41 mehr Kugeln aufnehmen
als die ungünstigste.

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

Nimm an, die Luftballons seien kugelförmig, falls ihr Radius gegeben ist, kannst du das Volumen B=4/3·π·r³ jedes Ballons bestimmen. Berechne das Volumen des Zimmers: V=4.7 m · 2.7 m · 2.5 m  und davon 74%. Der Rest ist der Zwischenraum zwischen den Ballons. 0,74·V : B=Anzahl der Ballons, die in das Zimmer passen.

Funktionsgleichung in Abhängigkeit von r: f(r)=0,74·\( \dfrac{3·4,7·2,7·2,5}{4·π·r^3} \) (r in m).

Comments

Hallo Roland, ich habe dein \(\LaTeX\) repariert. LG

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Gut, dass du Roland auf die Änderung aufmerksam machst.

Dennoch: Bitte unterlassen, wenn die Exponenten (hier die 3) dermassen klein werden, dass sie auch als 2 gelesen werden können. Zumindest bei meinen Antworten. Danke.

Zudem: Wenn Unwissen, den Dezimalpunkt verwendet in der Schule, bitte nicht mit Dezimalkomma antworten. Das kann verwirren.

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Hallo TR,

die Kommata haben mich auch verwirrt, vor allem, weil das überhaupt nicht "clean" aussieht. Du kannst die größe der der \(\LaTeX\)-Darstellung verändern.

Beispiel:

\(\Large\frac{3\cdot 4.7\cdot 2.7\cdot 2.5}{4\pi \cdot r^3}\)

\(\Huge \frac{3\cdot 4.7\cdot 2.7\cdot 2.5}{4\pi \cdot r^3}\)

Mir ist es wichtig, dass sich keiner benachteiligt fühlt und es ist wichtig, dass ihr darüber offen kommunizert; dann werde ich es unmittelbar unterlassen. Die Antworten gehören ja nicht mir und jede Antwort sollte mit gewissem Respekt und Vorsicht behandelt werden.

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@rc. Die LaTeX-Darstellung mit Punkten gefällt mir auch nicht. Ist erst übergross nicht mehr verwirrend.

Warte mal noch die Reaktion von Roland ab. Er übt zwischendurch gerade LaTeX. Da können deine Korrekturen helfen. Ich würde allenfalls den Term in "besserem" LaTeX ergänzen und die ursprüngliche Version zum Vergleich stehen lassen.

Ich hätte auch ungern, wenn meine Antworten einfach auf LaTeX umformuliert würden. Mathematischer wird das nicht. Wenn offensichtliche Tippfehler behoben werden, ist das ein angenehmer Effekt.

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Ich kann leider auf diese Diskussion nicht reagieren. Sie bewegt sich außerhalb meines Horizonts.

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Wie lassen sich denn die (100-74)% Zwischenraum begründen? Dafür gibt der Aufgabentext doch keinerlei Anhalt.

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Suchwort "Kugelpackungen".

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@Lu

Roland hatte lediglich vergessen beide Klammern. So im Original:

\\frac{3·4,7·2,7·2,5}{4·π·r^3}\)

es hat also eine Klammer gefehlt, die dazugemacht habe. Ich übersetze keine gesamten Antworten in \(\TeX\) - das wäre auch viel zu viel Arbeit.

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@ Roland:

Aha, das ist ein guter Ansatz.

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@rc: TeX-Korrektur ist mE eine willkommene Hilfestellung. Ich habe nun gleich noch dfrac aus frac gemacht, damit der Exponent im Bruch etwas besser lesbar ist.

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Selbstredend, ich verfüge allerdings selbst nur über Grundkenntnisse und nicht hinreichend viel Zeit

Answer 3

Du findest eine Ähnliche Aufgabe samt Lösungsvorschläge unter

https://www.mathelounge.de/33112

Wende die Lösungsvorschläge mal auf deine Aufgabe an.

Answer 4

Man teilt das Volumen des Zimmers durch das Volumen eines Luftballons.

Zwischenraum zwischen den Luftballons kann vernachlässigt werden, weil Luftballons sich leicht in eine bestimmte Form zwingen lassen.

Answer 5

Bin ich denn der Einzige hier, der bei dieser Frage an die vermutliche Anzahl der Klavierstimmer in Chicago denkt?